Tiêu đề CHƯƠNG 5 - Một số phép đổi biến.doc ✅

4 Một số phép đổi biến Trong chứng minh bất đẳng thức, việc đổi biến qua các phép đặt ẩn phụ thường xuyên xuất hiện, nó cho phép người làm nhìn nhận bài toán với một góc độ khác hơn. Đôi lúc đó là chìa khóa để giải bài toán, là tiền đề để ta nhìn nhận lại bài toán, chọn lọc cho nó một phương pháp giải hợp lý hơn mà nếu ngay từ đầu sẽ khó nhận ra. Phương pháp biến đổi pqr là một minh chứng cho điều đó, tuy nhiên vẫn còn rất nhiều cách đổi biến khác nếu chưa từng gặp qua thì sẽ rất khó khăn trong việc liên kết các giả thiết. Vì tính không mẫu mực đó, bài viết sẽ điểm qua các cách đổi biến, với nhiều góc độ nhất có thể để từ đó bạn đọc có được nhiều lời giải thú vị cho cùng một bài toán. 4.1 Một số phép đổi biến cơ bản Các phép đổi biến sơ cấp: Tịnh tiến, co giãn, nghịch đảo… Ý tưởng: Ta sẽ sử dụng các phép đổi biến 111,,,,;,,,,;...xyzxkykzkxyz xyz     để biến đổi bài toán, qua đó có một cách nhìn khác cho bài toán. Ví dụ 36. Với ,,xyz là các số thực dương có tích bằng 8. Chứng minh rằng 222 111 1. 111xxyyzz  Lời giải. Từ hình dáng của bài toán làm ta liên tưởng đến một bổ đề rất chặt của Võ Quốc Bá Cẩn - Vasile Cirtoaje: Với ba số thực dương có tích bằng 1 thì BĐT sau luôn đúng: 222 111 1. 111xxyyzz  Dễ dàng đoán được điểm rơi của BĐT là 2xyz nên để đưa về bổ đề, một ý tưởng là ta tịnh tiến các biến ,,xyz qua một phép biến đổi: ,,1;1;1xyzabc và BĐT cần chứng minh là: 222 111 1. 111aabbcc  Giống với dạng của bổ đề. Bài toán sẽ được giải quyết nếu ta giải quyết được hai vấn đề sau:  ,,abc chưa phải là những số dương: Ta thấy nếu ,,xyz có số nào đó không lớn hơn 1 thì ,,abc khi đó sẽ không dương và ta không dùng được bổ đề. Tuy nhiên, nếu tình huống đó xảy ra thì BĐT ban đầu lại hiển nhiên đúng. Hay nói cách khác ta chỉ cần chứng minh trong trường hợp ,,1xyz tức ,,0.abc  Thế nhưng khi đó 1.abc Muốn dùng được bổ đề ta cần 1,abc ta lại sử dụng ý tưởng tịnh tiến biến. Cụ thể, tồn tại 0k sao cho: 1akbc . Theo Bổ đề ta có: 222 111 1. 111bbccakak  Vì cách chọn k nên ta có:
 222 222 111 111 111 1. 111 aabbcc bbccakak     Vậy bài toán được chứng minh. Ở ví dụ trên ta đổi biến dựa vào biểu thức cần chứng minh. Tiếp theo là hai ví dụ mà ý tưởng đổi biến dựa hoàn toàn vào điều kiện của bài toán. Đây cũng là công dụng của phép đổi biến mà chúng ta nên lưu ý, nhất là với các bài toán có điều kiện khá “lạ”. Ví dụ 37 (Iran 2002). Với ,,xyz là các số thực dương thỏa mãn 222 4.xyzxyz Chứng minh rằng 3.xyz Lời giải. Ta dễ dàng đoán điểm rơi của BĐT là 1,xyz suy nghĩ tự nhiên (giả sử là ta chưa biết cách khai thác điều kiện mà bài toán cho) ta sẽ tịnh tiến biến: Đặt 1,1,1.xaybzc Khi đó điều kiện bài toán cho sẽ là:   222 2 222 1111114 11 30 (*). 22 abcabc abcabcabcabc   Giả sử ngược lại, ta có 0.abc Ta chú ý 1,,1abc nên: 322222213. 22abcabcabc Nhưng như vậy là trái với đẳng thức khai thác bên trên. Ví dụ 38 (Chọn đội tuyển Thanh Hóa – Vòng 2, năm học 2015 - 2016). Với ,,xyz là các số thực dương thỏa mãn 111 .xyz xyz Chứng minh rằng 222222 1113 . 16222xyzxyyzzxyzzxxyzxxyyz  Lời giải. Từ giải thiết, với ,,xyz thỏa điều kiện thì 111 ,, xyz    cũng thỏa điều kiện. Ta có một ý tưởng là thay vì chứng minh bài toán với ,,xyz ta sẽ chứng minh với 111 ,,. xyz    BĐT cần chứng minh là: 222 1113 . 16222xyzyzxzxy  Theo BĐT AM - GM ta có: 222 111 222xyzyzxzxy    1111 . 4xyxzyzyxzxzy     Ta cần chứng minh:
 1113 4xyxzyzyxzxzy  38.xyyzzxxyz Một lần nữa ta sử dụng BĐT AM – GM, ta được: 98.xyyzzxxyzxyyzzx Nên ta chỉ cần chứng minh: 3.xyyzzx Mà điều này là hiển nhiên vì 111 .xyz xyz Bài toán được chứng minh. Nhận xét: Qua ba ví dụ trên, ta thấy phép đổi biến cho phép người làm tiến gần tới một kết quả quen thuộc nào đó hoặc chí ít là đưa đến một ý tưởng mới cho bài toán. Hơn nữa bằng cách phối hợp các phép biến đổi này người làm toán có thể tạo ra các bài toán “lạ” mà bản chất của nó đã được che giấu đi, thậm chí là thêm bớt vào đó để làm bài toán “lạ” này khó hơn. Đây là mảnh đất hứa hẹn nhiều sáng tạo, tác giả mời bạn đọc khai phá. Đổi biến với giả thiết tích các biến là hằng số Ý tưởng: Với giả thiết tích các biến là hằng số 3k (trong bài viết sẽ đề cập đến ba biến, trường hợp nhiều biến hơn ta làm tương tự) ta có thể thực hiện các phép biến đổi sau: (Phần chứng minh vì sao có phép biến đổi đó dành lại cho bạn đọc)   222 222 ,,,,;,,,,; ,,,,... kakbkckakbkc xyzxyz bcabccaab kbckcakab xyz abc         Vấn đề đặt ra là sử dụng phép biến đổi nào là hợp lý. Ta có thể dựa vào một số yếu tố sau để lựa chọn phép biến đổi: Bậc của tử và mẫu thức, BĐT dạng đối xứng hay hoán vị,… Để thấy được hiệu quả của phép đổi biến này cũng như đổi biến như thế nào là hợp lý ta đến với bài toán sau, một bài toán chặt và có nhiều ứng dụng trong chứng minh BĐT. Ví dụ 39 (Võ Quốc Bá Cẩn - Vasile Cirtoaje). Với ,,xyz là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng 222 111 1. 111xxyyzz  Lời giải. Ta thử sử dụng phép đổi biến ,,,,.abcxyz bca     Khi đó BĐT trở thành: 222 2222221.bca aabbbbccccaa  Hình dáng bài toán bấy giờ làm ta liên tưởng đến BĐT Cauchy dạng phân thức. Tuy nhiên, nếu áp dụng trực tiếp:   2 222 222222222. 2 abcbca aabbbbccccaaabcabbcca   
Và ta cần có   2 2221, 2 abc abcabbcca    nhưng điều này là sai. Điều đó có nghĩa là:  BĐT thu được sau phép đổi biến không đơn thuần là sử dụng trực tiếp Cauchy như trên.  Hoặc là phép đổi biến của ta là chưa hợp lý. Ta thử với phép đổi biến sau: 222,,,,bccaabxyz abc     và bài toán cần chứng minh là: 444 2224222422241.abc bcbcaacacabbbabacc  BĐT trên được giải quyết đơn giản bằng BĐT Cauchy. Bài toán được giải quyết. Nhận xét:  Ta thấy nếu thực hiện phép đổi biến thích hợp bài toán sẽ hiện rõ bản chất được giấu đi. Để hiểu hơn bạn đọc hãy thử với phép đổi biến 222,,,,abcxyz bccaab     sẽ hiểu tại sao ta lại chọn phép đổi biến bên trên.  Trong lời giải, với phép đổi biến ,,,,abcxyz bca     vẫn có thể giải quyết được bài toán nhưng phải tinh tế hơn trong khâu thêm bớt mới sử dụng BĐT Cauchy sau đó.  Với kết quả này ta có thể chứng minh trực tiếp ví dụ 36 qua đánh giá: 422 11 . 1 1 22 xxxx     Đổi biến liên quan đến lượng giác Ý tưởng: Với các bài toán BĐT có điều kiện đặc biệt, chứa căn, dạng phân thức… nhưng đều có hình dáng “tựa” với một công thức lượng giác nào đó. Một ý tưởng nên làm khi đó là đổi biến về giá trị lượng giác, với mục tiêu vận dụng được các công thức đặc biệt của lượng giác. Ví dụ 40. Cho 2018 là các số thực dương 122018,,...,aaa thỏa mãn 222 122018 111 ...1. 111aaa  Chứng minh rằng 1009 122018...2017.aaa Lời giải. Từ giả thiết, ta liên tưởng đến công thức lượng giác 2 2 1 cos, 1tanx x 