Tiêu đề Toán 12_Tập 2 C5_Bài 1. Phương trình mặt phẳng CTST_bản HS.pdf ✅

1 PHẦN HÌNH HỌC VÀ ĐO LƢỜNG Chƣơng V. PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, ĐƢỜNG THẲNG, MẶT CẦU Bài 1. Phƣơng trình mặt phẳng A. Kiến thức cần nhớ 1. Vectơ pháp tuyến, cặp vectơ chỉ phƣơng.  Vectơ pháp tuyến: Vectơ n  0 là VTPT của mp (P) nếu giá của n vuông góc với mp (P).  Nếu hai vectơ u v   0; 0 không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên mp (P) thì uv, được gọi là cặp vec tơ chỉ phƣơng của mặt phẳng (P) và n u v    ,   là vectơ pháp tuyến của mp (P). Cụ thể: 1 1 1 2 2 2 u x y z v x y z   ( ; ; ); ( ; ; ) thì   1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 w u v y z y z z x z x x y x y      ; ( ; ; ) . Vectơ w vuông góc với cả hai vectơ u và v và được gọi là tích có hướng của hai vectơ u và v . Chú ý:  Nếu n 0 là v ctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) P th k n k . , ( 0) c ng là v ctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ). P  Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết được một điểm và một vectơ pháp tuyến hoặc một điểm và một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng đó. 2. Phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng.  Mặt phẳng (α) đi qua điểm ( ; ; ) M x y z o o o o và có vectơ pháp tuyến n  (A; B; C) th mp(α) có phương trình: 0 0 0 : – – – 0 A x x B y y C z z hay Ax By Cz D 0 với D Ax By Cz o o o được gọi là hệ số tự do của phương tr nh.  Phương tr nh đoạn chắn: Mp (α) đi qua 3 điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương tr nh: (α): 1 x y z a b c    3. Điều kiện để hai mặt phẳng song song – vuông góc.  Cho hai mặt phẳng 1 1 1 1 ( ): 0 P Ax B y C z D và 2 2 2 2 ( ): 0 Q Ax B y C z D có vectơ pháp tuyến lần lượt là 1 1 1 1 2 2 2 2 n A B C n A B C ( ; ; ); ( ; ; ). 1 2 1 2 ( ) ( ) , ( ) n kn P Q k D kD 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) . 0 0. P Q n n AA B B C C 4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng  Khoảng cách từ điểm ( ; ; ) M x y z M M M đến mặt phẳng ( ): 0 P Ax By Cz D được xác định bởi công thức: 222 ( ;( )) Ax By Cz D M M M d M P A B C B. Các dạng bài tập & phƣơng pháp giải Dạng 1. Tìm vectơ pháp tuyến – cặp vectơ chỉ phƣơng Ví dụ 1. T m v ctơ pháp tuyến của các mặt phẳng P Oxy Oyz Oxz ; ; ; .
2 Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD A B C D      . a) Tìm một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ( ) ABCD . b) Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) ABCD . Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ m = (1; 0; - 3), n = (0; 0; 3). Hãy t m vectơ p khác 0 vuông góc với cả hai vectơ m và n . Ví dụ 4. Cho mặt phẳng ( ) P có cặp vectơ chỉ phương là a b     (1;3;5), ( 3; 1;1). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) P . Ví dụ 5. T m v ctơ pháp tuyến của mp (P) biết cặp v c tơ chỉ phương là a) a b     1;3;5 , 3; 1;1    b) m n     1;2;3 , 3;4;1    c) u v    4;2;3 , 3;2;1    Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz, tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng qua ba điểm A B C (2; 1;3), (4;0;1), ( 10;5;3)   . Ví dụ 7. Cho biết hai vectơ a b    (2;1;1), (1; 2;0) có giá lần lượt song song với ngón trỏ và ngón giữa của bàn tay trong Hình vẽ . T m vectơ n có giá song song với ngón cái. (Xem như ba ngón tay nói trên tạo thành ba đường thẳng đôi một vuông góc.) Ví dụ 8. Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là m t, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P một lực F để vặn con ốc ở vị trí O (H.vẽ) thì moment lực M được tính bởi công thức M OP F  [ , ].
3 a) Cho OP x y z F a b c   ( ; ; ), ( ; ; ) . Tính M . b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động F trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P  sao cho OP OP 2   thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều g để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc? Dạng 2. Viết phƣơng trình mặt phẳng Ví dụ 9. Chỉ ra v ctơ pháp tuyến trong các mặt phẳng sau a) 2 3 2 0 x y z     b) x y z     5 3 0 c) x z    6 0 d) 2 1 0 y z    Ví dụ 10. Cho hai mặt phẳng ( ),( ) P Q có phương tr nh tổng quát là ( ):3 5 7 5 0 và ( ): 2 0. P x y z Q x y        a) Tìm một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng ( ),( ) P Q . b) T m điểm thuộc mặt phẳng ( ) P trong số các điểm: A B (1;3;1), (1;2;3). Ví dụ 11. Viết phương tr nh mặt phẳng ( ) P đi qua điểm M(1;2;3) và có vectơ pháp tuyến n  (1;2;1) . Ví dụ 12. Viết phương tr nh mặt phẳng ( ) P đi qua điểm N(4;0;1) và có cặp vectơ chỉ phương là a b   (1;2;1), (2;1;3) . Ví dụ 13. Viết phương tr nh mặt phẳng ( ) P đi qua ba điểm A B C (1;1;1), (1;2;2), (4;1;0). Ví dụ 14. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A a B b C c ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; ) với a, b, c đều khác 0 . Viết phương tr nh mặt phẳng ( ) P đi qua ba điểm A, B, C.
4 Dạng 3. Hai mặt phẳng song song – vuông góc Ví dụ 15. Mặt phẳng ( ): 4 3 5 0 P x y z     song song với mặt phẳng nào sau đây? a) ( ):8 6 2 9 0 Q x y z     ; b) ( ):8 6 2 10 0 R x y z     ; c) ( ): 4 2 5 0 S x y z     . Ví dụ 16. Chứng minh hai mặt phẳng (P1): 2x – y – 3z + 1 = 0 và (P2): 6x – 3y – 9z + 1 = 0 song song với nhau Ví dụ 17. Chứng minh hai mặt phẳng: (P1): x – y – 2z + 4 = 0 và (P2): x – y + z + 5 = 0 vuông góc với nhau Ví dụ 18. Chứng minh mặt phẳng (P): x + 2z – 3 = 0 vuông góc với mp(Ozx) Ví dụ 19. Viết phương tr nh mặt phẳng ( ) Q đi qua điểm M(1;2;3) và song song với mặt phẳng ( ): 2 12 0 P x y z     . Ví dụ 20. Mặt phẳng ( ) E : 2 8 1 0 x y z     song song với mặt phẳng nào sau đây? a) ( ):8 4 32 7 0 F x y z     ; b) ( ):6 3 24 3 0 H x y z     ; c) ( ):10 5 41 1 0 G x y z     . Ví dụ 21. Cho ba mặt phẳng ( ),( ),( ) P Q R có phương tr nh là: ( ): 4 3 2 0; P x y z     ( ): 4 88 0 và ( ): 9 0. Q x y R x y z        Chứng minh rằng ( ) ( ) P Q  và ( ) ( ) P R  . Ví dụ 22. Tìm các cặp mặt phẳng vuông góc trong các mặt phẳng sau: (F): 3 2 5 3 0 x y z     , ( ): 4 23 0 H x y z     , ( ): 3 24 0 G x y z     . Ví dụ 23. Trong không gian Oxyz, viết phương tr nh mặt phẳng ( )  đi qua hai điểm A(3;1; 1)  , B(2; 1;4)  và vuông góc với mặt phẳng ( )  có phương tr nh là 2 3 1 0 x y z     . Ví dụ 24. Trong không gian Oxyz, viết phương tr nh mặt phẳng ( )  đi qua A( 3;2; 1)   và vuông góc với hai mặt phẳng ( ): 2 3 1 0,( ): 2 2 3 0 P x y z Q x y z         . Dạng 4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Ví dụ 25. Tính khoảng cách từ điểm M(2; -3; ) đến các mặt phẳng a) (P): 4x + 5y + 2z – 1 = 0 b) (Q): x – 4y + 3z + 2 = 0 c) -3x + 5y + 2z – 4 = 0 e) mp(Oxy) f) mp(Oyz) g) mp(Oxz) Ví dụ 26. Chứng minh hai mặt phẳng sau song song và tính khoảng cách hai mặt phẳng đó a) (P): 2x – 4y – 4z + 3 = 0 và (Q): x – 2y – 2z + 1 = 0 b) (P): 6x – 8y – 3 = 0 và (Q): 3x – 4y + 2 = 0 Ví dụ 27. Tính khoảng cách từ điểm M(1;2;3) đến các mặt phẳng sau: a) ( ): 12 0 P x y z     ; b) ( ): 4 3 10 0 Q x y    . Ví dụ 28. Tính chiều cao của hình chóp S.ABC có toạ độ các đỉnh là S A (5;0;1), (1;1;1), B C (2;3;4), (5;2;3) . Ví dụ 29. Tính khoàng cách giữa hai mặt phẳng song song ( ) P và ( ) Q cho bởi các phương tr nh sau đây: ( ): 2 2 9 0; P x y z     ( ): Q 2 x+y+2 z+99=0. Ví dụ 30. a) Tính chiều cao của hình chóp O.MNP với toạ độ các đ nh là O M (0;0;0), (2;1;2), N P (3;3;3), (4;5;6). b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( ):8 6 70 0 R x y    và (S): 16 12 2 0 x y    . Ví dụ 31. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a 2 , chiều cao bằng 2a và O là tâm của đáy. Bằng cách thiết lập hệ trục toạ độ Oxyz như Hình vẽ, tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( ) SAB . Dạng 5. Một số bài toán liên quan thực tế. Ví dụ 32. Trên bản thiết kế đồ hoạ 3 D của một cánh đồng điện mặt trời trong không gian Oxyz, một tấm pin nằm trên mặt phẳng ( ):6 5 2 0 P x y z     ; một tấm pin khác nằm trên mặt phẳng ( ) Q đi qua điểm M(1;1;1) và song song với ( ) P . Viết phương tr nh mặt phẳng ( ) Q .