Tiêu đề 6 bài - Bài toán tìm tiệm cận đứng và tiệm xiên của ĐTHS_HS.pdf ✅

Dạng 2: Bài toán tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số Cho hàm số y f x =   . Để tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số thì ta làm như sau:  Các bước tìm đường tiệm cận đứng: Bước 1: Tìm nghiệm của mẫu, giả sử nghiệm đó là 0 x x = Bước 2: Tính giới hạn một bên tại 0 x x = . Nếu xảy ra   0 lim x x f x ® - = ¥ hoặc   0 lim x x f x ® + = ¥ thì ta kết luận 0 x x = là đường tiệm cận đứng.  Các bước tìm đường tiệm cận xiên: ta xác định hệ số của a và b trong các trường hợp sau Bước 1: Tính   limx f x a ®+¥ x = , lim   x b f x ax ®+¥ = - é ù ë û Bước 2: Tính   limx f x a ®-¥ x = , lim   x b f x ax ®-¥ = - é ù ë û  Lưu ý:  Nếu a = 0 thì tiệm cận xiên chính là tiệm cận ngang  Đối với hàm số phân thức   2 ax bx c f x mx n + + = + ta có thể chia đa thức để biến đổi về dạng   e f x a x b mx n = + + ¢ ¢ + với e 1 0 Suy ra y a x b = + ¢ ¢ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Câu 1: Cho hàm số 2 1 1 x x y x - + = - có đồ thị là C a) Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. b) Đường tiệm cận xiên của đồ thị tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1. c) Giao điểm hai tiệm cận của đồ thị nằm trên parabol 2 y x = . d) Đường tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng x y + - = p 0. Câu 2: Cho hàm số 2 2 3 1 x x y x - + = - có đồ thị là C a) Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận. b) Đường tiệm cận xiên của đồ thị tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân. c) Giao điểm của hai tiệm cận nằm trên trục hoành. d) Đường tiệm cận xiên của đồ thị song song với đường thẳng x y + = 0. Câu 3: Cho hàm số     2 2 3 5 : 3 x x C y f x x + - = = + biết đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là đường thẳng D = + : y ax b a) Giao điểm của D và trục Ox có hoành lớn hơn 2 . b) Giao điểm của D và tiệm cận đứng của C có tọa độ là - - 3; 9 .
c) Gọi A Ox B Oy = D Ç = D Ç , thì ta có 3 OAB S > . d) Giá trị lớn nhất của hàm số y ax b = + trên 0;3 là 4. Câu 4: Cho hàm số     2 C y f x x x : 4 8 12 = = + - và điểm M C Î  với 0 M x < a) Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận xiên đều là các hàm số đồng biến trên ¡ . b) Xét D = + > 1 : 0 y ax b b  là tiện cận xiên của C điểm 1;4Î D . c) Xét D = + < 2 : 0 y ax b b  là tiện cận xiên của C khi đó d M max 2  , 2 D < . d) Hoành độ giao điểm của hai đường tiệm cận xiên bằng -2. Câu 5: Cho hàm số  1    3 1 : 2 x C f x x - = - và     2 2 2 3 1 : 2 1 x x C g x x- - = - biết đồ thị hàm số C1  có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là các đường thẳng 0 0 x x y y = = , ; C2  có tiện cận xiên là đường thẳng D = + : y ax b a) Giá trị của biểu thức 0 0 S x y b = + + = 2 3 8 . b) Đồ thị hàm số C2  có tiện cận ngang là đường thẳng y =1. c) Giao điểm của ba đường tiệm cận ở đề bài tạo thành tam giác có diện tích bằng 2 . d) Đồ thị hàm số C1  và C2  có chung đường tiệm cận đứng. Câu 6: Cho hàm số 2 1 1 x x y x - + = - có đồ thị C như hình vẽ. a) Đường thẳng x =1 là tiệm cận đứng của đồ thị C. b)   lim 1 x f x ®+¥ x = - . c) lim 1   x f x x ®+¥ é ù - = ë û . d) Đường thẳng y x = là tiệm cận xiên của đồ thị C.
Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Câu 1: Cho hàm số 2 1 1 x x y x - + = - có đồ thị là C a) Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. b) Đường tiệm cận xiên của đồ thị tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1. c) Giao điểm hai tiệm cận của đồ thị nằm trên parabol 2 y x = . d) Đường tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng x y + - = p 0. Lời giải a) Đúng: Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. b) Sai: Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng y x = đi qua gốc toạ độ nên không hình thành được tam giác. c) Đúng: Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x =1 và đường tiệm cận xiên là y x = nê giao điểm hai tiệm cận của đồ thị là I 1;1 nằm trên parabol 2 y x = . d) Đúng: Đường tiệm cận xiên của đồ thị y x = vuông góc với đường thẳng y x = - + p Câu 2: Cho hàm số 2 2 3 1 x x y x - + = - có đồ thị là C a) Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận. b) Đường tiệm cận xiên của đồ thị tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân. c) Giao điểm của hai tiệm cận nằm trên trục hoành. d) Đường tiệm cận xiên của đồ thị song song với đường thẳng x y + = 0. Lời giải a) Đúng: Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận: đường tiệm cận đứng có phương trình x =1 và đường tiệm cận ngang có phương trình y x = -1. b) Đúng: Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số cắt hai trục toạ độ Ox Oy , lần lượt tại hai điểm A B 1;0 , 0; 1   -  nên tam giác OAB là tam giác vuông cân c) Đúng: Giao điểm hai tiệm cận của đồ thị là A1;0 nằm trên trục hoành. d) Đường tiệm cận xiên của đồ thị y x = -1 vuông góc với đường thẳng y x = - Câu 3: Cho hàm số     2 2 3 5 : 3 x x C y f x x + - = = + biết đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là đường thẳng D = + : y ax b a) Giao điểm của D và trục Ox có hoành lớn hơn 2 . b) Giao điểm của D và tiệm cận đứng của C có tọa độ là - - 3; 9 . c) Gọi A Ox B Oy = D Ç = D Ç , thì ta có 3 OAB S > . d) Giá trị lớn nhất của hàm số y ax b = + trên 0;3 là 4. Lời giải
Ta có   lim 2 x f x ®±¥ x = và lim 2 3   x f x x ®±¥ é ù - = - ë û nên đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình là y x = - 2 3 a) Sai: 3 0 2 3 0 2 2 D Ç Þ = Û - = Û = < Ox y x x b) Đúng: TCĐ x = -3 với 0 0 x y = - Þ = × - - = - 3 2 ( 3) 3 9 c) Sai: A Ox A = D Ç Þ -( 3;0) và 3 1 3 9 0; 3 3 2 2 2 4 B Ox B SOAB æ ö = D Ç Þ Þ = × × = < ç ÷ è ø d) Sai: y x = - 2 3 đồng biến trên ¡ suy ra giá trị lớn nhất trên 0;3 là 2.3 3 3 - = Câu 4: Cho hàm số     2 C y f x x x : 4 8 12 = = + - và điểm M C Î  với 0 M x < a) Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận xiên đều là các hàm số đồng biến trên ¡ . b) Xét D = + > 1 : 0 y ax b b  là tiện cận xiên của C điểm 1;4Î D . c) Xét D = + < 2 : 0 y ax b b  là tiện cận xiên của C khi đó d M max 2  , 2 D < . d) Hoành độ giao điểm của hai đường tiệm cận xiên bằng -2. Lời giải Ta có hai đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: 1 2 : 2 2 2 : 2 2 2 b y a x x a b y a x x a é æ ö D = + = + ê ç ÷ è ø æ ö D = - + = - - ç ÷ ë è ø . a) Sai: Dễ thấy hai đường TCX D2 không đồng biến trên ¡ b) Đúng: Thay x =1vào D1 ta có y = × + = 2 1 2 4 c) Đúng: Ta có đồ thị hàm số và tiệm cận xiên D2 Tập xác định của hàm số D = -¥ - È ¥  ; 3 1;+    . Do 0 M x < nên điểm M thuộc nhánh đồ thị bên trái nên để d M ,D2  đạt giá trị lớn nhất thì M A o - 3;0 . Vậy           max 2 2 2 2 2. 3 1.0 2 4 5 , , 2 5 2 1 d M d A - - - - D = D = = < - + - d) Sai: Phương trình hoành độ giao điểm 2 2 2 2 1 2 x x x + = - Û = - 1 - Câu 5: Cho hàm số  1    3 1 : 2 x C f x x - = - và     2 2 2 3 1 : 2 1 x x C g x x- - = - biết đồ thị hàm số C1  có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là các đường thẳng 0 0 x x y y = = , ; C2  có tiện cận xiên là đường thẳng D = + : y ax b a) Giá trị của biểu thức 0 0 S x y b = + + = 2 3 8 . b) Đồ thị hàm số C2  có tiện cận ngang là đường thẳng y =1. c) Giao điểm của ba đường tiệm cận ở đề bài tạo thành tam giác có diện tích bằng 2 .