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ARITMÉTICA PREMIUM... La clave para tu ingreso Jr. Cuzco No 323 – Piura. Teléfono: 301308 – 945 184 292 / 933 013 077 82 TEORÍA DE CONJUNTOS CONCEPTO Se entiende como una colección de objetos bien definidos, llamados elementos y pueden ser de posibilidades reales, abstractas o imaginarias. Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A, B, C ....... etc, o entre llaves { } y sus integrantes generales separados con comas ( , ) o punto y coma ( ; ) Ejemplos: A = {1; 4; 6; 8; 10; 12} B = {a; e; i; o; u} C = (x/x3 – 3x2 + 2x – 1 =0) RELACIÓN DE PERTENENCIA () Un elemento pertenece a un conjunto cuando forma parte o es agregado de dicho conjunto. La pertenencia () es un vinculo que va de elemento al conjunto al cual pertenece, más no así entre elementos o entre conjunto. (elemento)  (conjunto) OBSERVACIÓN:  “NO PERTENECE a” Ejemplo: Sea A = {a; ; {a; b}; {4; 5}}  a  A  b  A  {4}  A    A  {}  A  {a; b}  A DIAGRAMAS DE VENN Son regiones planas limitadas por curvas cerradas, que se usan generalmente para representar a un conjunto y visualizar que elementos están o no en él. Por ejemplo: Conjunto Universal o Referencial U = {1; 2; 3; 4; 5, 6; 7, 8; 9: 10; 11; 12} A = {2; 3, 4; 5} B = {3; 4, 5; 6; 7; 8; 9} C = {8; 9; 10; 11; 12} NOTA: N(A) = # (A) SE LEE “NÚMERO DE ELEMENTOS O CARDINALES DE A, ASÍ DE LOS EJEMPLOS ANTERIORES: N(A) = 5; # (B) = 7; # (C) = 5; n(U) = 12 DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Por Comprensión Resulta cuando se da a conocer una característica común a todos los elementos que forman un conjunto: Ejemplo: A = {3x  N/ x < 2}   2 1 / , 9 2 Condiciones Forma de los elementos x B Z x N x      Por extensión Resulta cuando se nombre explícitamente a cada uno los elementos que forman un conjunto. De los ejemplos anteriores: Para A: x < 2  3x < 6 Como: 3x  N: 3x = 1, 2, 3, 4, 5 A = {1; 2; 3, 4; 5} RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Inclusión o Subconjunto El conjunto A está incluido en B, cuando todos, los elementos de A son también elementos de B; es decir: A  B   x  A  x  B Notas 1. A  A,  A 2.   A  = “Conjunto vacío o nulo” 3. Si A = B y además A  B entonces A es subconjunto propio de B. 4. Si n(A) = ik entonces el número de subconjuntos de A: 2n(A) = 2k Ejemplo: Sea A = {2; 4; 6} Subconjuntos: : {2}; {4}; {6}; {2; 4}; {2; 6}; {4; 6}; {2; 4; 6} Se observa 23 = 8 elementos.  Para determinar la cantidad de subconjuntos “n” arios (binarios ternarios, etc) de un conjunto que tiene “k” elementos, se tiene: . n         n  arios Subconjunt o = k Cn . Propiedades:  Propiedades Reflexivas: A  A  Propiedad Antisimétrica: Si: A  B  B  A  A = B  Propiedad Transitiva: Si: A  B  B  C  A  C Conjuntos Iguales Dos conjuntos A y B son iguales cuando tiene los mismos elementos, es decir: A = B  A  B  B  A OBSERVACIÓN: {2; 5} = {5; 2} ; {a; b} = {a; b; b} Relaciones de Coordinabilidad de Conjuntos Dos conjuntos A y B son coordinables cuando entre sus elementos puede establecer una correspondencia biunívoca.

ARITMÉTICA PREMIUM... La clave para tu ingreso Jr. Cuzco No 323 – Piura. Teléfono: 301308 – 945 184 292 / 933 013 077 84 Complemento de A Notación: CUA = A = AC = A ́= U – A AC = {x/x  U  x  A} Gráficamente:  AC ∪ A = U  AC ∩ A =   (AC) C = A  Morgan (A B) A B (A B) A B C C C C C C           Diferencia Simétrica () A  B = (A – B) ∪ (B - A) NOTA: puede decirse también que “A  B” es el conjunto de todos los elementos de A ∪ B que no pertenecen al conjunto A ∩ B. en otras palabras “A  B” es el conjunto formado por los elementos “exclusivos” de A o de B. Gráficamente: A  B A  B A  B  A  B = (A ∪ B) – (A ∩ B)  A  B = AC  BC RELACIONES CON CARDINALES 1. Para dos conjuntos cualesquiera A y B . n(A ∪B) = n(A) + (B) – n(A ∩ B) . . n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A ∪ B) . . n(A - B) = n(A) – n(A ∩ B) . LEYES Y PROPIEDADES DE ÁLGEBRA DE CONJUNTOS I) Reflexiva:  A ∪ A = A  A ∩ A = A  A  A =  II) Asociativa:  A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C  A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ A  A  (B  C) = (A  B)  C III) Conmutativa:  A ∪ B = B ∪ A  A ∩ B = B ∩ A  A  B = B  A IV) Distributiva:  A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ B)  A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B ∪ (A ∩ C)  (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)  (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) V) De la Inclusión: Si: A  B                 A B B A A B A B A A B B   VI) Elemento Neutro:  A ∪  = A  A ∩  =   A ∪ U = U  A ∩ U = A VII) De la Diferencia:  A – B = A ∩ B'  A – B = B'- A' VIII) Del Conjunto Producto:  n(A x B) = n(A) x n(B)  A x (A ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)  A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C) IX) De la Exclusión: Si A y B son disjuntos            A B A B A B A A B   X) Del Complemento:  (A')'= A  A ∪ A' = U  A ∩ A ́=   ' = u  U' =  XI) Leyes de Morgan:  (A ∪ B)'= A' ∩ B'  A ∩ (A ∪ B) = A  A ∪ (A' ∩ B) = A ∪ B  A ∩ (A' ∪ B) = A ∩ B XII) De Absorción:  A ∪ (A ∩ B) = A  A ∩ (A ∪ B) = A  A ∪ (A' ∩ B) = A ∪ B  A ∩ (A' ∪ B) = A ∩ B INTERPRETACIONES DE ALGUNAS REGIONALES SOMBREADAS “Solo A”, “Exclusivamente A”, “únicamente A”, “A – B” “Ocurre A o B”, “A ∪ B”, “al menos uno de ellos” o “por lo menos uno de ellos”