Tiêu đề Tich phan ham nhieu bien.pdf ✅

TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Hà Văn Hiếu Email: [email protected] 1 Tích phân phụ thuộc tham số Tích phân phụ thuộc tham số I(y) = Z b a f(x, y) dx • Nếu f(x, y) liên tục trên [a, b] × [c, d] thì I(y) liên tục trên [c, d]. • Nếu f(x, y) liên tục trên [a, b] × [c, d] thì Z d c I(y) dy = Z b a Z d c f(x, y) dy dx. 2 Tích phân hai lớp Định nghĩa 2.1 (Tích phân hai lớp (bội)) Cho hàm số f(x, y) xác định trong một miền giới nội, đóng D ⊂ R 2 . Chia D thành n mảnh nhỏ ∆S1, . . . , ∆Sn. Trong ∆Si , lấy một điểm tùy ý Mi(xi , yi). Giới hạn, nếu có, của tổng Xn i=1 f(xi , yi)∆Si , khi n → ∞ sao cho max di → 0, với di là đường kính của các ∆Si , được gọi là tích phân kép của f(x, y) trên D và được kí hiệu là Z Z D f(x, y) dxdy. 1
• Nếu tích phân ấy tồn tại, ta nói rằng f(x, y) khả tích trên D. • Nếu f(x, y) liên tục trên D thì nó khả tích trên D. 2.1 Tính chất của Tích phân hai lớp 1. Z Z D [f(x, y) + g(x, y)] dxdy = Z Z D f(x, y) dxdy + Z Z D g(x, y) dxdy. 2. Z Z D kf(x, y) dxdy = k Z Z D f(x, y) dxdy (k là hằng số). 3. Nếu miền D có thể chia thành hai miền D1, D2 không đằm lên nhau thì Z Z D f(x, y) dxdy = Z Z D1 f(x, y) dxdy + Z Z D2 f(x, y) dxdy. 4. Nếu f(x, y) ≤ g(x, y), ∀(x, y) ∈ D thì Z Z D f(x, y) dxdy ≤ Z Z D g(x, y) dxdy. 5. Nếu m ≤ f(x, y) ≤ M, ∀(x, y) ∈ D, với m, M là hằng số, thì mS ≤ Z Z D f(x, y) dxdy ≤ MS, với S là diện tích của miền D. 2

– Nếu D = {(x, y): c ≤ y ≤ d, x1(y) ≤ x ≤ x2(y)}, thì: Z Z D f(x, y) dxdy = Z d c dy Z x2(y) x1(y) f(x, y) dx Ví dụ 2.2 Tính RR D (x + y) dxdy, với D là hình chữ nhật [0, 1] × [0, 2]. Giải: Z Z D (x + y) dxdy = Z 1 0 Z 2 0 (x + y) dy dx = Z 1 0 2x + 4 2 dx = Z 1 0 (2x + 2)dx = 3 Bài tập 2.3 (Câu 58 trong đề thi thử) Tính tích phân bội hai I = Z Z R x dA, với R là miền giới hạn bởi các đường y = x và y = x 2 . Giải: Miền R được xác định như sau: 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 R x y y = x y = x 2 Ví dụ 2.4 Hãy xác định các cận tích phân khi tính I = Z Z D f(x, y) dxdy, trong đó D là miền giới hạn bởi các đường x = 2, y = 1 x , y = x. Giải: x y y = 1 x y = x x = 2 D 4