Tiêu đề PHAN A. LY THUYET.docx ✅

1 PHẦN A. LÝ THUYẾT I. TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM 1. Hệ trục toạ độ trong không gian Hệ gồm ba trục ,,OxOyOz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ toạ độ Oxyz . Chú ý: Ta gọi ,,ijk→→→ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục ,,OxOyOz . Trong hệ toạ độ Oxyz (Hình), ta gọi: điểm O là gốc toạ độ; Ox là trục hoành, Oy là trục tung, Oz là trục cao; các mặt phẳng (),(),()OxyOyzOzx là các mặt phẳng toạ độ. Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz . Nhận xét: Các mặt phẳng toạ độ (),(),()OxyOyzOzx đôi một vuông góc với nhau. Ví dụ 1: Một sân tennis với hệ toạ độ Oxyz được chọn như ở Hình. a) Hỏi mặt sân nằm trong mặt phẳng tọa độ nào? b) Trục Oz có vuông góc với mặt sân hay không? Giải a) Mặt sân nằm trong mặt phẳng toạ độ .Oxy b) Trục Oz vuông góc với mặt phẳng tọa độ ()Oxy nên trục Oz vuông góc với mặt sân. 2. Toạ độ của một điểm Ta có định nghĩa sau (Hình):
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M . - Xác định hình chiếu 1M của điểm M trên mặt phẳng Oxy . Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , tìm hoành độ a , tung độ b của điểm 1M . - Xác định hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz , điểm P ứng với số c trên trục Oz . Số c là cao độ của điểm M . Bộ số (;;)abc là toạ độ của điểm M trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , kí hiệu là (;;)Mabc . Chú ý - Toạ độ của một điểm M trong không gian với hệ toạ độ Oxyz luôn tồn tại và duy nhất. - Người ta còn có thể xác định tọa độ điểm M theo cách sau (Hình): + Xác định hình chiếu H của điểm M trên trục hoành Ox , điểm H ứng với số a trên trục Ox . Số a là hoành độ của điểm M . + Xác định hình chiếu K của điểm M trên trục tung Oy , điểm K ứng với số b trên trục Oy . Số b là tung độ của điểm M . + Xác định hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz , điểm P ứng với số c trên trục Oz . Số c là cao độ của điểm M . Khi đó, bộ số (;;)abc là toạ độ của điểm M trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .
3 Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm (4;5;3)A . Gọi 123,,AAA lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các mặt phẳng toạ độ (),()OxyOyz , ()Ozx (Hình). Tìm toạ độ của các điểm 123,,AAA . Giải Gọi 111122223333;;,;;,;;AxyzAxyzAxyz . Với (4;5;3)A , đặt 4,5,3AAAxyz . Ta có: 114;5AAxxyy và 10z (vì 1A nằm trên mặt phẳng ())Oxy . Do đó 1(4;5;0)A . 225;3AAyyzz và 20x (vì 2A nằm trên mặt phẳng ())Oyz . Do đó 2(0;5;3)A . 334;3AAxxzz và 30y (vì 3A nằm trên mặt phẳng ())Ozx . Do đó 3(4;0;3)A . II. TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTƠ Toạ độ của điểm M được gọi là toạ độ của vectơ OM→ . Nếu OM→ có tọa độ (;;)abc thì ta viết (;;)OMabc→ , trong đó a gọi là hoành độ của vectơ ,OMb→ gọi là tung độ của vectơ OM→ và c gọi là cao độ của vectơ OM→ (Hình). Chú ý: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , ta có: - (;;)(;;)OMabcMabc→ ;
4 - Vectơ đơn vị i→ trên trục Ox có tọa độ là (1;0;0)i→ ; Vectơ đơn vị j→ trên trục Oy có tọa độ là (0;1;0)j→ ; Vectơ đơn vị k→ trên trục Oz có toạ độ là (0;0;1)k→ (Hình). Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm (4;3;1)M và (2;1;3)N . Tìm tọa độ của các vectơ ,OMON→→ . Giải Ta có: (4;3;1)M và (2;1;3)N . Do đó, (4;3;1),(2;1;3)OMON→→ . Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , toạ độ của một vectơ u→ là toạ độ của điểm A , trong đó A là điểm sao cho OAu→→ . Nếu u→ có tọa độ (;;)abc thì ta viết (;;)uabc→ , trong đó a gọi là hoành độ, b gọi là tung độ và c gọi là cao độ của vectơ u→ . Ví dụ 4: Tìm tọa độ của các vectơ 12,AAAA→→ ở Hình. Giải Trong Hình, ta có: 12,AAOLAAOH→→→→ mà (0;0;3)L và (4;0;0)H . Do đó, 1(0;0;3)AA→ và 2(4;0;0)AA→ . Ta có định lí sau: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , nếu (;;)uabc→ thì . uaibjck→→→→