Tiêu đề Chuyên đề 12_Bất đẳng thức và các bài toán cực trị_Lời giải.DOC ✅

1 CHUYÊN ĐỀ 12_BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC CÂU TOÁN CỰC TRỊ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi một trong các dấu > (lớn hơn),  (nhỏ hơn),  (lớn hơn hoặc bằng),  (nhỏ hơn hoặc bằng). Ta có: 0ABAB 0ABAB  Trong bất đẳng thức AB (hoặc ,,ABABAB ),  A gọi là vế trái, B gọi là vế phải của bất đẳng thức.  Các bất đẳng thức AB và CD gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều. Các bất đẳng thức AB và EF gọi là hai bất đẳng thức trái chiều.  Nếu ta có ABCD ta nói bất đẳng thức CD là hệ quả của bất đẳng thức AB .  Nếu ta có ABEF ta nói hai bất đẳng thức AB và EF là hai bất đẳng thức tương đương  AB (hoặc AB ) là bất đẳng thức ngặt: AB (hoặc AB ) là bất đẳng thức không ngặt  AB là AB hoặc AB  AB cũng là bất đẳng thức  Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng thức kép. Ví dụ: ABC II. TÍNH CHẤT  Tính chất 1: (tính chất bắc cầu) ab và bcac  Tính chất 2: abacbc Hệ quả: abcacb  Tính chất 3: ab và cdacbd  Tính chất 4:  neáu 0  neáu 0 acbcc ab acbcc      Tính chất 5: 0ab và 0cdacbd  Tính chất 6: 0ab , n nguyên dương nnab  Tính chất 7: 0ab , n nguyên dương nnab Hệ quả: ,0ab 22 ababab  Tính chất 8: 11 ,0  abab ab  Tính chất 9: 1a , m và n nguyên dương, mnmnaa ; 01a , m và n nguyên dương, mnmnaa . III. CHỨNG MINH BĐT Muốn chứng minh một bất đẳng thức, ta phải dựa vào bất đẳng thức đúng đã biết. Ghi nhớ: a 1) 220;0aa . Dấu "  " xảy ra 0a

3 222 ()()() 99xyyzxz xyyzxz  1119 xyzxyz  Các bài toán dạng “ , ” thường dùng bài toán 1, các bài toán dạng “ , ” thường dùng bài toán 2. Khi dùng đến các bài toán này ta cần phải chứng minh rồi mới vận dụng. Phương pháp giải 6: (Phương pháp cơ bản về giá trị tuyệt đối )Đối với một số bài toán bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể vận dụng các bài toán cơ bản về bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối sau. Bài toán 1. Chứng minh rằng: a) abab . Dấu “=” xảy ra 0ab b) abab . Dấu “=” xảy ra 0bab Bài toán 2. Chứng minh rằng nếu ,0xy thì 2xyxy yxyx Dấu “=” xảy ra xy Từ đó suy ra, nếu ,0mn , ta có: 1) 2mn nm 2) 1 2m m . Dùng biến đổi tương đương, ta dễ dàng chứng minh được các bài toán này. Khi cần dùng đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi mới vận dụng. Phương pháp giải 7: (Phương pháp vận dụng BĐT liên hệ giữa tổng bình phương, bình phương của tổng, tích hai số ) Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể vận dụng các bất đẳng thức liên hệ giữa tổng bình phương, bình phương của tổng, tích hai số. Bài toán 1. 22224xyxyxy Bài toán 2. 222233xyzxyzxyxzyz . Chú ý: Khi cần dùng đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi mới vận dụng. Phương pháp giải 8: (Phương pháp sử dụng các bài toán cơ bản về căn thức )Khi giải một số bài toán bất đẳng thức có chứa căn thức bậc hai, ta có thể vận dụng các bài toán cơ bản về bất đẳng thức chứa căn thức. Bài toán 1. Cho ,0ab . Chứng minh rằng: 2 ab ab  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab . (Bất đẳng thức Cô – si) Bài toán 2. Chứng minh rằng 2222axbyabxy Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi aybx . (Bất đẳng thức Bu – nhi – a– cop–xki). Bài toán 3. Chứng minh rằng 222222abxyaxby Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi aybx . (Bất đẳng thức Min–cop–xki). Khi cần dùng đến Bài toán 2 và 3, ta phải chứng minh rối mới vận dụng. Riêng Bài toán 1 (bát đẳng thức Cô–si), chúng ta được phép áp dụng mà không cần phải chứng 12 '''' ,bb xx aa   . Phương pháp giải 8: (Phương pháp vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ) Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức, có khi ta phải vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Cần nhớ: Phương trình 200axbxca 2 4bac
4 0 : phương trình vô nghiệm 0 : phương trình có nghiệm kép: 2 b x a 0 : phương trình có hai nghiệm phân biệt: 12, 22 bb xx aa   . Trường hợp 2'bb thì 2''bac '0 : phương trình vô nghiệm '0 : phương trình có nghiệm kép: 'b x a '0 : phương trình có hai nghiệm phân biệt: B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Cho x , y , z , t là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2xyzt yzzttxxy  . Lời giải Đặt: xyzt A yzzttxxy  xyzt M xyyzzttx  yztx N xyyzzttx  4.xyztyztx MN xyyzzttxxyyzzttx  Ta có: ytxzytxz NA xyyzzttx    441111 4.ytxz ytxz xyztyztxxyztxyzt     Chứng minh tương tự ta cũng có: 4AM . 82.AMANA Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 0xyzt . Câu 2: Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn 0xxzyyz . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3322 2222 4xyxy P xzyzxy    . Lời giải Áp dụng bất bẳng thức Côsi 322 2222 zz . 2xz2 xxxz xxx xzxz 