Tiêu đề Chương 6_Bài 19_Phương trình bậc hai một ẩn_Lời giải.pdf ✅

BÀI 19. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng 2 ax bx c + + = 0 trong đó x là ẩn; abc , , là những số cho trước gọi là hệ số và a 0  . Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, những phương trình nào là phương trình bậc hai ẩn x ? Chỉ rõ các hệ số abc , , của mỗi phương trình đó. a) 2 2 3 1 0 x x − + = ; b) 2 x − =3 0 ; c) 2 1 1 3 2 0 x x     +  + =   ; d) 2 − = 5 0 x Lời giải a) Phương trình 2 2 3 1 0 x x − + = là phương trình bậc hai với a b c = = − = 2, 3, 1. b) Phương trình 2 x − =3 0 là phương trình bậc hai với a b c = = = − 1, 0, 3 . c) Phương trình 2 1 1 3 2 0 x x     +  + =   không phải là phương trình bậc hai. d) Phương trình 2 − = 5 0 x là phương trình bậc hai với a b c = − = = 5, 0, 0 . 2. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT Cách giải phương trình bậc hai một ẩn dạng khuyết Giải một phương trình bậc hai là tìm tất cả các nghiệm của nó. Dưới đây, thông qua một số ví dụ đơn giản, ta trình bày cách giải một số phương trình bậc hai dạng 2 ax bx c + + = 0 ( 0) a  , mà khuyết số hạng bậc nhất (tức là b = 0) hoặc khuyết số hạng tự do (tức là c = 0 ), bằng phương pháp đặt nhân tử chung đưa về dạng tích hoặc dùng hằng đẳng thức để đưa vế trái về một bình phương. Chú ý: - Nếu A B = 0 thì A = 0 hoặc B = 0 . - Nếu 2 A B B =  ( 0) thì A B = hoặc A B = − . Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: a) 2 2 4 0 x x − = ; b) 2 3 8 0 x x + =
Lời giải a) 2 2 4 0 x x − = 2 ( 2) 0 x x − = x = 0 hoặc x = 2 Vậy phương trình có hai nghiệm: 1 2 x x = = 0, 2 b) 2 3 8 0 x x + = x x (3 8) 0 + = x = 0 hoặc 8 3 x = − Vậy phương trình có hai nghiệm: 1 2 8 0, 3 x x = = − Chú ý. Để giải phương trình bậc hai dạng 2 x bx c + = , ta có thể cộng thêm vào hai vế của phương trình với cùng một số thích hợp để vế trái có thể biến đổi thành một bình phương. Từ đó có thể giải phương trình đã cho. Ví dụ 4. Cho phương trình 2 x x − = 4 1. a) Hãy cộng vào cả hai vế của phương trình với cùng một số thích hợp để được một phương trình mà vế trái có thể biến đổi thành một bình phương. b) Dựa vào câu a và cách giải Ví dụ 3b, hãy giải phương trình đã cho. Lời giải a) 2 x x − = 4 1 2 x x − + = + 4 4 1 4 2 ( 2) 5 x − = b) Từ kết quả câu a, ta có: x − = 2 5 hoặc x − = − 2 5 , suy ra là x = +2 5 hoặc x = −2 5 . Vậy phương trình có hai nghiệm: 1 2 x x = + = − 2 5, 2 5 . 3. CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cách giải phương trình bậc hai Để giải phương trình bậc hai 2 ax bx c a + + =  0( 0) trong trường hợp tổng quát, ta làm như sau: - Chuyển hạng tử tự do c sang vế phải: 2 ax bx c + = − . - Chia cả hai vế của phương trình cho hệ số a của 2 2 : b c x x x a a + = − . - Cộng vào hai vế của phương trình nhận được với 2 2 4 b a để vế trái có thể biến đổi thành bình phương của một biểu thức: 2 2 2 2 4 4 b b c b x x a a a a + + = − + hay 2 2 2 4 2 4 b b ac x a a   −   + =   . Kí hiệu 2  = − b ac 4 và gọi là biệt thúc của phương trình (  đọc là "đenta").
Khi đó, ta có thể viết lại phương trình cuối dưới dạng 2 2 2 4 b x a a      + =   . Từ đây, ta có kết quả sau: Xét phương trình bậc hai một å̉n 2 ax bx c a + + =  0( 0). Tính biệt thức 2  = − b ac 4 . - Nếu  0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 2 ; 2 2 b b x x a a − +  − −  = = - Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép 1 2 2 b x x a = = − . - Nếu  0 thì phương trình vô nghiệm. Ví dụ 5. Cho phương trình 2 3 7 1 0 x x + − = . a) Xác định các hệ số abc , , . b) Tính biệt thức  . c) Áp dụng công thức nghiệm, giải phương trình đã cho. Lời giải a) Ta có: a b c = = = − 3, 7, 1. b) Ta có: 2 2  = − = −   − = + = b ac 4 7 4 3 ( 1) 49 12 61. c) Do  0 , áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 2 7 61 7 61 , . 6 6 x x − + − − = = Ví dụ 6. Giải các phương trình sau: a) 2 x x − + = 6 9 0 ; b) 2 2 3 5 0 x x + + = . Lời giải a) Ta có: 2  = − −   = ( 6) 4 1 9 0 . Do đó, phương trình có nghiệm kép: 1 2 6 3 2 2 b x x a − = = − = − = b) Ta có: 2  = −   = − = −  3 4 2 5 9 40 31 0 . Do đó, phương trình vô nghiệm. Chú ý. Xét phương trình bậc hai 2 ax bx c a + + =  0( 0) , với b b = 2  và 2  = −   b ac . - Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 2 ; b b x x a a − +  − −      = = - Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép 1 2 b x x a  = = − . - Nếu   0 thì phương trình vô nghiệm.
Các công thức ở trên gọi là công thức nghiệm thu gọn. Ví dụ 7. Xác định a b c , ,  rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình sau: a) 2 2 6 1 0 x x + + = ; b) 2 x x − + = 4 3 12 0 . Lời giải a) Ta có: a b c = = = 2, 3, 1  và 2  = −  =   3 2 1 7 0 . Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 2 3 7 3 7 ; 2 2 x x − + − − = = . b) Ta có: a b c = = − = 1, 2 3, 12  và 2  = − −  =  ( 2 3) 1 12 0 . Do đó, phương trình có nghiệm kép: 1 2 x x = = 2 3 4. TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY Sử dụng máy tính cẩm tay, ta có thể dễ dàng tìm nghiệm của các phương trình bậc hai một å̉n. Ví dụ 8 . Sử dụng máy tính cẩm tay, tìm nghiệm của các phương trình sau: a) 2 2 5 4 0 x x − − = ; b) 2 9 12 4 0 x x − + = ; c) 2 − + − = 3 4 2 0 x x Lời giải Với một loại máy tính cầm tay, sau khi mở máy ta bấm phím để chuyển vể chế độ giải phương trình bậc hai. Tiếp theo, với từng phương trình ta thực hiện như sau: Tìm nghiệm của phương trình Bấm phím Màn hình hiện Kết luận 2 2 5 4 0 x x − − = Bấm tiếp phím Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 5 57 4 x + = , 2 5 57 4 x − = 2 9 12 4 0 x x − + = Phương trình có nghiệm kép 1 2 2 3 x x = = .