Tiêu đề Toán thực tế 12_Chuyên đề 7_ _Đề bài.docx ✅

CHUYÊN ĐỀ 7. ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định nghĩa Cho hàm số yfx xác định trên tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn của R). Nếu Ta có hàm số Fx xác định trên K sao cho 'Fxfx thì Fx được gọi là nguyên hàm của hàm số fx trên K. Định lí 1. Nếu Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số GxFxC cũng là một nguyên hàm của hàm số fx trên K. Định lí 2. Nếu Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên K thì mọi nguyên hàm của fx trên K đều có dạng GxFxC với C là hằng số. Định lí 3. Mọi hàm số fx liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính chất của nguyên hàm: 'fxdxfxC với C là hằng số. kfxdxkfxdx với k là hằng số khác 0. fxgxfxdxfxdxgxdx Bảng nguyên hàm Chú ý: công thức tính vi phân của fx là 'dfxfxdx Với u là một hàm số 0dxC  0duC dxxC  duuC 111 1xdxxC     111 1uduuC     1 lndxxC x  1 lnduuC u  xx edxeC  uuedueC ln x xa adxC a  ln u ua adxC a  cossinxdxxC  cossinuduuC sincosxdxxC  sincosuuduC 2 1 tan cosdxxC x  2 1 tan cosduuC u  2 1 cot sindxxC x  2 1 cot sinduuC u  3. Ứng dụng nguyên hàm trong bài toán chuyển động  Giả sử vật M chuyển động trên quãng đường có độ dài là s trong khoảng thời gian t. Khi đó, vật M chuyển động với vận tốc trung bình là
s v t  Tuy nhiên, chúng ta gặp rất nhiều trường hợp vật chuyển động không đều, vận tốc thay đổi liên tục tùy theo vị trí và thời gian. Ví dụ xe chạy trên đường gặp nhiều chướng ngại vật thì giảm tốc, chạy trên đường thông thoáng thì tăng tốc. Vì vậy ta cần phương pháp tính đúng vận tốc của xe tại mỗi thời điểm.  Giả sử v(t) là vận tốc của vật M tại thời điểm t, và s(t) là quãng đường vật đi được sau khoảng thời gian t tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Ta có mối liên hệ giữa s(t) và v(t)  Đạo hàm của quãng đường là vận tốc stvt  Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường stvtdt  Nếu gọi a(t) là gia tốc của vật M thì ta có mối liên hệ giữa v(t) và a(t)  Đạo hàm của vận tốc chính là gia tốc vtat  Nguyên hàm của gia tốc chính là vận tốc vtatdt B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Một máy bay đang chuyển động thẳng đều trên mặt đất với vận tốc 3/vms thì bắt đầu tăng tốc với độ biến thiên vận tốc là hàm số at có đồ thị hàm số là đường thẳng như hình bên. Sau 15s tăng tốc thì máy bay đạt đến vận tốc đủ lớn để phóng khỏi mặt đất. Hãy tính vận tốc khi máy bay bắt đầu rời khỏi mặt đất. t(s) a 15 90 O
Câu 2: Tốc độ tăng các cặp đôi kết hôn ( đơn vị tính: triệu người ) của nước Mỹ từ năm 1970 đến năm 2005 có thể được mô hình bởi hàm số 21,21844,72709,1fttt với t là năm (t = 0 ứng với năm 1970 ). Số lượng cặp đôi kết hôn vào năm 2005 là 59513 ngàn người. a. Tìm một mô hình biểu thị cho số lượng các cặp đôi kết hôn của nước Mỹ. b. Sử dụng mô hình đó để dự đoán số lượng các cặp đôi kết hôn của nước Mỹ vào năm 2012. Kết quả của bạn liệu có hợp lí? Giải thích vì sao? Câu 3: Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số  2 1000 ,0 10,3 Btt t   , trong đó B(t) là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước tại ngày thứ t. Số lượng vi khuẩn ban đầu là 500 con trên mỗi ml nước. Biết rằng mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới 3000 con trên mỗi ml nước. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì người ta phải xử lí và thay nước mới cho hồ bơi. Câu 4: Một hồ nước bị ô nhiễm được xử lý bằng một chất diệt khuẩn. Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn sống sót được mô hình bởi  2 3000 ,0 10,2 Btt t   với B(t) là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước là t là số ngày tính từ khi hồ nước được xử lý. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu là 10000 con/ml nước. Sử dụng mô hình này xác định số lượng vi khuẩn sau 5 ngày. Liệu số lượng vi khuẩn có thể vượt 2000 con/ml nước. Câu 5: Người ta thay nước mới cho 1 bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu là hcm 1280 . Giả sử h(t) là chiều cao (tính bằng cm) của mực nước bơm được tại thời điểm t giây, biết rằng tốc độ tăng của chiều cao mực nước tại giây thứ t là htt313 500 và lúc đầu hồ bơi không có nước. Hỏi sau bao lâu thì nước bơm được 3 4 độ sâu của hồ bơi? Câu 6: Trọng lượng của một bào thai người nặng khoảng 0,04 ounce (1ounce = 28,3495 gram) sau 8 tuần tuổi. Trong suốt 35 tuần tiếp theo, trọng lượng của bào thai này được dự đoán tăng với tốc độ:   0,193 2 0,193 2436 ,843 1784 t t e Btt e     với B(t) là cân nặng tính bằng ounce và t là thời gian tính bằng tuần. Hãy tính trọng lượng của bào thai sau 25 tuần tuổi. Câu 7: Một công ty có doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng x được xác định dưới dạng hàm số   24 0 1fxx x , với x là số lượng sản phẩm được bán ra. Hỏi tổng doanh thu của công ty khi bán ra 100 sản phẩm là bao nhiêu? Câu 8: Một doanh nghiệp sản xuất mặt hàng với chi phí cận biên được mô tả bởi hàm số 211693 10fxxx , với x là số sản phẩm sản xuất. Giả sử rằng doanh nghiệp bán được hết số lượng sản phẩm sản xuất được. Biết rằng doanh thu cận biên được mô tả bởi hàm số     8 4 5 5 x gx , với x là số lượng sản phẩm được bán ra. Giả sử rằng tổng chi phí khi chưa sản xuất sản phẩm nào là 0 đồng và tổng doanh thu khi chưa bán được sản phẩm nào là 0 đồng.
a) Hỏi khi sản xuất 8 sản phẩm và bán hết thì doanh nghiệp thu được lợi nhuận là bao nhiêu? b) Lập bảng tính chi phí cận biên và doanh thu cận biên khi sản xuất và bán được số lượng từ 10 đến 18 sản phẩm. Hỏi doanh nghiệp có nên tăng sản lượng lên 15 sản phẩm hay không? Câu 9: Tại 1 công ty, giá bán P của một đơn vị sản phẩm của một mặt hàng phụ thuộc vào số lượng sản phẩm x được bán. Ước tính rằng nếu sản phẩm được bán ra với tốc độ thay đổi của giá mỗi sản phẩm được tính theo công thức:  2 214 24 x x (USD/sản phẩm) Hãy xác định giá khi 10 sản phẩm bán ra, biết nếu rằng một sản phẩm bán ra giá bán sẽ là 5600 (USD). Câu 10: Gọi ht (tính bằng cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng htt318 5 và lúc đầu bồn không chứa nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Câu 11: Chất điểm chuyển động theo một đường thẳng sau t giây đạt được vận tốc tvt.em/s2 . Tính quãng đường nó đi được trong t giây đầu tiên? Câu 12: Người ta dự đoán rằng dân số thay đổi với tốc độ .te0001 (tỷ người/năm) với t là số năm tính từ năm 2003. Biết rằng năm 2009 dân số thế giới là 4,5 (tỷ người). Dân số thế giới vào năm 2013 vào khoảng Câu 13: Hưởng ứng phong trào “Ngày vì người nghèo” do Đài truyền hình Việt Nam tổ chức, tối ngày 10/04/2010 chương trình “Góp sức vì người nghèo” đă được tổ chức tại 3 điểm cầu truyền hình tại 3 thành phố lớn của cả nước là: TP Hà Nội, TP Đà Nẵng, TP Hồ Chí Minh và được truyền hình trực tiếp trên song VTV3 – Đài truyền hình Việt Nam.Trong chương trình này, các cá nhân tổ chức trong và ngoài nước sẽ có dịp được chung tay góp sức giúp đỡ cho người nghèo qua hình thức nhắn tin hoặc quyên góp tiền trực tiếp cho ban tổ chức chương trình. Theo ước tính, sau t (giờ) số tiền quyên góp thay đổi với tốc độ t300 ,te01 (triệu đồng/giờ). Số tiền có được sau 5 giờ đầu tiên quyên góp là bao nhiêu ? Câu 14: Một vật chuyển động với gia tốc a(t)(m/s) t  22 2 .Vận tốc ban đầu của vật là 7m/s. Hỏi vận tốc của vật tại giây thứ 5 bằng bao nhiêu ? Câu 15: Một học sinh tự chế tên lửa và phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 30m/s. Giả sử bỏ qua sức cản của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực. Độ cao lớn nhất mà tên lửa có thể đạt được là ? (biết rằng gia tốc rơi tự do là g,m/s298 ) Câu 16: Một hạt proton di chuyển trong điện trường có biểu thức gia tốc (theo m/s2 ) là a t  2 20 21 với t tính bằng giây. Tìm hàm vận tốc v theo t , biết rằng t0 thì vm/s40 . Câu 17: Trong mạch điện của thiết bị điện tử, cường độ dòng điện (đơn vị mA) là một hàm số theo thời gian t là it,,tmA0302 . Tổng điện tích đi qua một điểm trong mạch trong giây 0,05s là bao nhiêu, biết rằng tại thời điểm ban đầu thì lượng điện tích chạy qua dây dẫn bằng 0?