Tiêu đề Chương 7_Bài 3_ _Lời giải_Toán 11_CD.pdf ✅

BÀI 3. ĐẠO HÀM CẤP 2 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA ➢➢1. Xét hàm số 3 2 y x x = − + 4 5 . a) Tìm y . b) Tìm đạo hàm của hàm số y  . Lời giải a) Có 2 y x x  = − 3 8 b) y x  = − 6 8 Giả sử hàm số y f x = ( ) có đạo hàm y f x   = ( ) tại mọi điểm x a b ( ; ) . Nếu hàm số y f x   = ( ) tiếp tục có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y  tại x là đạo hàm cấp hai của hàm số y f x = ( ) tại x , kí hiệu là y  hoặc f x ( ). Ví dụ 1. Cho hàm số ( ) 4 2 f x x x = − + 4 3. a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm x bất kì. b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm 0 x = −1. Lời giải a) Ta có: ( ) 3 f x x x  = − 4 8 và ( ) 2 f x x  = − 12 8 . b) Ta có: ( ) ( ) 2 f  − =  − − = 1 12 1 8 4 . Ví dụ 2. Cho hàm số ( ) 1 2 f x x = + . a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm x −2 . b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm 0 x = 2 . Lời giải a) Với x −2 , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 2 2 x f x x x x     + −  = = − =     + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 x x f x x x x x    −      + +  = = = =     + + + +   . b) Ta có: ( ) ( ) 3 2 1 2 2 2 32 f  = = + . Lời giải
Ta có 3cos3 => 9sin3 y x y x  = −  = II. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI ➢➢2. Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có phương trình 1 2 2 s gt = , trong đó g là gia tốc rơi tự do, 2 g  9,8 m / s . a) Tính vận tốc tức thời v t( ) tại thời điểm t t 0 1 = = 4 s ; 4,1 s ( ) ( ). b) Tính tỉ số v t   trong khoảng thời gian 1 0  = − t t t . Lời giải a) v t s t gt ( ) = = ( ) Vận tốc tức thời v t( ) tại thời điểm t 0 = 4 s( ) . v m s (4 9,8.4 39,2( / ) ) = = Vận tốc tức thời v t( ) tại thời điểm t 0 = 4,1 s( ) . v m s (4,1 9,8.4,1 40,18( / ) ) = = b) tỉ số v t   trong khoảng thời gian 1 0  = − t t t . ( 1 ) ( ) 1 1 1 o o o o v v t v t gt gt g t t t t t  − − = = =  − −  Tỉ số v t   gọi là gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian t .  ( ) ( ) 0 lim t v v t a t t  →   = =  gọi là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t . Trong trường hợp tổng quát, ta có: Đạo hàm cấp hai s t ( ) là gia tốc tức thời của chuyển động s s t = ( ) tại thời điểm t . Ví dụ 3. Xét dao động điều hoà có phương trình chuyển động s t A t ( ) = + cos(  ) , trong đó A, ,   là các hằng số. Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động đó. Lời giải Gọi v t( ) là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t , ta có: v t s t A t A t ( ) ( ) cos sin (     ) ( )  = = + = − +      Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 s t v t A t A t       sin cos   = = − + −     = +  B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tính đạo hàm cấp cao của hàm số y f x = ( ) 1. Phương pháp ✓ Tính đạo hàm cấp 1: f’(x) ✓ Tính đạo hàm cấp 2: ' f ''(x) f '(x) =    
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số ( ) 4 5 2 f x x 3x x 4 5 = − − + Hướng dẫn giải ( ) 4 5 2 f x x 3x x 4 5 = − − + thì ( ) 4 f x 4x 6x 1,  = − − do đó: ( ) 3 f x 16x 6.  = − Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y cos2x = Hướng dẫn giải y cos2x = thì y 2sin2x.  = − Do đó y 4cos2x.  = − Ví dụ 3: Cho hàm số ( ) 1 1 3 2 12 1. 3 2 f x x x x = + − − Giải f x '' 0 ( )  Hướng dẫn giải ( ) 1 1 3 2 12 1 3 2 f x x x x = + − − thì ( ) ( ) 2 f x x x f x x   = + − = + 12; 2 1. Do đó ( ) 1 0 . 2 f x x     − Ví dụ 4: Cho hàm số 1 y . x 1 = + Tính y ? Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) 2 3 1 2 y y . x 1 x 1   = −  = + + Ví dụ 5: Cho hàm số x 3 y . x 4 − = + Tính ( ) ( ) 2 M 2 y 1 y .y . = + −   Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) 2 3 7 14 y y x 4 x 4   =  = − + + Lại có x 3 7 1 y 1 x 4 x 4 − − = − = + + Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 3 49 7 14 M 2 y 1 y .y 2. . 0. x 4 x 4 x 4     = + − = + − =   +   + +     Ví dụ 6: Cho hàm số 1 2 y x x 1. 2 = + + Tính 2 y 2y.y .   − Hướng dẫn giải Ta có: y x 1 y 1.   = +  = Vậy: ( ) 2 2 2 2 2 1 y 2y.y x 1 2 x x 1 .1 x 2x 1 x 2x 2 1. 2     − = + − + + = + + − − − = −     Ví dụ 7: Cho hàm số y x sin x. = Tính xy 2 y sin x xy . − − + (   ) Hướng dẫn giải Ta có: y sin x cos x y cos x cos x x sin x 2 cos x x sin x.   = +  = + − = − ( ) Vậy: ( ) ( ) 2 2 xy 2 y sin x xy x sin x 2 sin x x cosx sin x 2x cosx x sin x − − + = − + − + − =   0. Ví dụ 8: Cho hàm số y A sin x . =  +  ( ) Tính M y .y. 2 = +  
Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) 2 y A cos x y A sin x   =   +   = −   +  ( ) ( ) 2 2 2  +  = −   +  +   +  = y y A sin x A sin x 0.  Ví dụ 9: Cho hàm số yxx = − sin 2 cos 2 . Giải phương trình y  = 0. Hướng dẫn giải Ta có: y x x y x x   = +  = − + 2cos 2 2sin 2 4sin 2 4cos 2 . Phương trình 0 4sin 2 4cos 2 0 sin 2 0 4 y x x x     =  − + =  − =     2 ; . 4 8 2 x k x k k     − =  = +   Ví dụ 10: Cho hàm số: ( ) 2 4 cos . 2 x y m x = − + Tìm m sao cho y   0 với mọi x . Hướng dẫn giải Ta có: y m x x y m x   = − −  = − − ( 4 sin 4 cos ) y m x x m    − −    − 0 4 cos 0 cos 4 *( ) Vì cos 1, . x x  −   Vậy bất phương trình (*) luôn nghiệm đúng  x  −  −   1 4 3. m m Ví dụ 11: Cho hàm số 3x 2 y . 1 x − = − Giải bất phương trình y 0.   Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) 2 3 1 2 y y . 1 x 1 x   =  = − − Vậy ( ) 3 2 y 0 0 1 x 0 x 1. 1 x      −    − Ví dụ 12 : Hàm số 3 3 2 ( ) 1 + + = − x x f x x có ( ) 3 2 3 ( ) 1 + + +  = − ax bx cx d f x x . Tính S a b c d = − + − 2 . Lời giải Ta có : 3 3 2 ( ) 1 x x f x x + + = = − 2 6 4 1 x x x + + + − . ( ) 2 6 ( ) 2 1 1  = + −  − f x x x . ( ) 3 12 ( ) 2 1 f x x  = +  − ( ) ( ) 3 3 2 1 12 1 x x − + = − ( ) 3 2 3 2 6 6 10 1 x x x x − + + = − .  = = − = = a b c d 2, 6, 6, 10 . Do đó S a b c d = − + − = − 2 6.