Tiêu đề 4. PP Tọa độ của điểm-vec tơ _GV.pdf ✅

2 1)  = =   =  ' ' ' x x u u y y 2) u v x x y y  =   ( '; ') 3) k u kx ky . ( ; ) = 4) u ' cùng phương u ( u  0 ) khi và chỉ khi có số k sao cho  =  =  ' ' x kx y ky 5) Độ dài vectơ = + 2 2 u x y 6) Cho ( ; ), ( ; ) A x y B x y A A B B thì AB x x y y = − − ( B A B A ; ) = = − + − 2 2 ( ) ( ) AB AB x x y y B A B A B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. 1. Dạng 1: Tìm tọa độ của vectơ; các phép toán trên vectơ trên hệ trục tọa độ (O;i) Phương pháp giải. ❖ Phương pháp. -Dùng định nghĩa vectơ u xi y j = + thì u x y = ( ; ) hay u x y ( ; ). - Dùng công thức tính tọa độ của vectơ u v, u v, k u + − Với u ( x; y ) = ; u' ( x'; y') = và số thực k , khi đó u v ( x x'; y y')  =   và k.u ( kx;ky ) = Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho 3 vecto: a b c = = − = − − ( 3; 2 1;5 2; 5 ) ( ) ( ) Tìm tọa độ của vectơ sau a) a b + b) b c − c) k a b = + 2 d) l a b c = − + + 2 5 Lời giải: a) Ta có a b a b + = + − +  + = (3 ( 1);2 5) (2;7). b) b c − = − − − − − = ( 1 ( 2);5 ( 5)) (1;10) c) Ta có 2 (6;4) ( 1;5) a b = = − suy ra k = − + = ( 6 1;4 5 5;9 ) ( ) ; d) Ta có: − = − − = − a b ( 3; 2), 2 ( 2;10) và 5 ( 10; 25) c = − − suy ra
3 l = − − − − + − = − − ( 3 2 10; 2 10 25 15; 17 ) ( ) Ví dụ 2: Trong hệ trục tọa độ (O i j ; ; ) cho hai véc tơ a i j = − 2 4 ; b i j = − + 5 3 . Tìm tọa độ của vectơ u a b = − 2 Lời giải: Ta có a = − (2; 4) và b = −( 5; 3)  = − = − u a b 2 9; 11 ( ) . Ví dụ 3: Cho a b c = = − = − (1;2), ( 3;4) ; ( 1;3) . Tìm tọa độ của vectơ u biết a) 2 3 0 u a b − + = b) 3 2 3 3 u a b c + + = Lời giải: a) Ta có − + =  = − 3 1 2 3 0 2 2 u a b u a b Suy ra ( )   = + − =     3 3 ;3 2 3;1 2 2 u b) Ta có + + =  = − − + 2 3 2 3 3 3 u a b c u a b c Suy ra     = − + − − − + = −         2 4 4 7 3 1; 4 3 ; 3 3 3 3 u Ví dụ 4: Cho a = (1;2) và b = (3;4). Tìm độ dài của các vectơ a b , và 2 3 a b + Lời giải: Ta có 2 2 2 2 a b = + = = + = 1 2 5; 3 4 5 Ta có ( ) 2 2 2 3 11; 16 2 3 11 16 377 a b a b + =  + = + = . 2. Dạng 2: Bài toán liên quan đến sự cùng phương của hai vectơ. Phân tích một vectơ qua hai vectơ không cùng phương. 1. Phương pháp. • Cho u x y = ( ; ) ; u x y ' ( '; ') = . Vectơ u ' cùng phương với vectơ u ( u  0 ) khi và chỉ khi có số k sao cho  =  =  ' ' x kx y ky Chú ý: Nếu xy  0 ta có u ' cùng phương  = x y ' ' u x y
4 • Để phân tích c c c ( 1 2 ; ) qua hai vectơ a a a b b b ( 1 2 1 2 ; , ; ) ( ) không cùng phương, ta giả sử c xa yb = + . Khi đó ta quy về giải hệ phương trình  + =  + =  1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các vectơ u = −( 2;1) và v i m j = − 3 . Tìm m để hai vectơ u , v cùng phương. Lời giải: Ta có v i m j = − 3  = − v m (3; ). Hai vectơ u , v cùng phương 3 2 1 −m  = − 3 2  = m . Ví dụ 2: Cho = + − ( ) 2 u m m 2 ;4 và v m = ( ;2) . Tìm m để hai vecto u v, cùng phương. Lời giải: + Với m = 0 : Ta có u v = − = ( 2;4) ; (0;2) Vì  − 0 2 2 4 nên hai vectơ u v; không cùng phương + Với m  0 : Ta có u v; cùng phương khi và chỉ khi + −  = − =  − − =    =  2 2 m 2 4 1 2 0 2 2 m m m m m m Vậy với m = −1 và m = 2 là các giá trị cần tìm. Ví dụ 3: Cho các vectơ a b c = − = − − = (4; 2 , 1; 1 , 2;5 ) ( ) ( ) . Phân tích vectơ b theo hai vectơ a c và Lời giải: Giả sử 1 1 4 2 8 1 2 5 1 4 m m n b ma nc m n n  = − − = +  = +     − = − +  = −  . Vậy 1 1 8 4 b a c = − − . Ví dụ 4: Cho a b = = − (3;2), ( 3;1) a) Chứng minh a và b không cùng phương b) Đặt u x a y b = − + + (2 ) (3 ) . Tìm x y, sao cho u cùng phương với xa b + và a b + .