Tiêu đề Đề Thi Olympic Toán Sinh Viên Học Sinh 2022 (Đại Số) [Đáp Án].pdf ✅

HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN VÀ HỌC SINH NĂM 2022 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: ĐẠI SỐ (Đề thi có 02 trang) Thời gian làm bài: 180 phút. Bảng A Bài A.1. (6 điểm) (a) Tính định thức và hạng của ma trận vuông cấp n sau đây theo n: Dn =   1 1 0 0 . . . 0 0 0 2 2 0 . . . 0 0 0 0 3 3 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 . . . n − 1 n − 1 n 0 0 0 . . . 0 n   . (b) Giả sử (e1, e2, . . . , en) là một cơ sở của không gian véctơ V . Với những giá trị nào của n thì hệ các véctơ (e1 + e2, 2e2 + 2e3, 3e3 + 3e4 . . . , (n − 1)en−1 + (n − 1)en, nen + ne1) cũng lập thành một cơ sở của V ? Bài A.2. (6 điểm) Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm từ ba nguyên liệu (A, B, C); biết rằng mỗi nguyên liệu là sự kết hợp của ba thành tố (N, K và S) theo một tỉ lệ khối lượng cố định và được cho như sau: ❤ Loại nguyên liệu ❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤ Tên thành tố N K S A 0,4 0,2 0,4 B 0,2 0,3 0,5 C 0,3 0,3 0,4 Giả sử x, y, z lần lượt là tỉ lệ khối lượng của các nguyên liệu A, B, C đóng góp trong một sản phẩm được sản xuất. (a) Tính các tỉ lệ khối lượng của các thành tố N, K, S chiếm trong một sản phẩm theo x, y, z. (b) Tìm x, y, z biết rằng một sản phẩm có tỉ lệ khối lượng của các thành tố như sau 0, 31 là N; 0, 26 là K và còn lại là S. (c) Gọi a, b lần lượt là tỉ lệ của các thành tố N, K trong một sản phẩm. Chứng minh rằng    0, 2 ≤ b ≤ 0, 3; 0, 5 ≤ a + b ≤ 0, 6; 0, 8 ≤ a + 2b ≤ 0, 9. Bài A.3. (6 điểm) Giả sử P (x) là một đa thức với hệ số nguyên. 1
(a) Biết rằng α = 2021 2023 là một nghiệm của đa thức P (x), hỏi tổng các hệ số của P (x) có thể bằng 2023 hay không? Tại sao? (b) Trả lời câu hỏi tương tự cho α = 2021 2022, nghĩa là nếu α = 2021 2022 là một nghiệm của đa thức P (x) nói trên, thì tổng các hệ số của P (x) có thể bằng 2023 hay không? Tại sao? Bài A.4. (6 điểm) (a) Cho A = (aij )2×2 là một ma trận vuông khả nghịch, cấp 2, với hệ số phức. Chứng minh rằng A có thể khai căn bậc hai được, nghĩa là tồn tại một ma trận B vuông cấp 2 với hệ số phức sao cho B2 = A. (b) Tồn tại hay không một ma trận B vuông cấp 2 với hệ số phức sao cho B2 = 0 1 0 0 ? Bài A.5. (6 điểm) Một đường hoán vị của ma trận vuông A cấp n là một bộ gồm n hệ số của A sao cho hai hệ số bất kỳ đều không nằm trên cùng một hàng, và không nằm trên cùng một cột. Một ma trận vuông cấp n được gọi là một ma trận Olympic nếu đó là ma trận thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: (i) Mỗi hệ số có giá trị thuộc {−1, 0, 1}. (ii) Tổng n hệ số trên các đường hoán vị đều bằng nhau. Chẳng hạn A =   −1 0 −1 0 1 0 0 1 0   là một ma trận Olympic. Ký hiệu f(n) là số các ma trận Olympic cấp n. (a) Chứng minh rằng điều kiện (ii) ở trên tương đương với việc hai hàng bất kỳ của ma trận sai khác nhau một vectơ hàng với các tọa độ bằng nhau. (b) Tính giá trị của f(2). (c) Tìm công thức của f(n) dưới dạng f(n) = a1b n 1 + a2b n 2 + a3b n 3 + a4, trong đó a1, b1, a2, b2, a3, b3, a4 là các hằng số. Hết Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 2

Bài A.2. (A.2=B.2) (Tổng=6 điểm) Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm từ ba nguyên liệu (A, B, C); biết rằng mỗi nguyên liệu là sự kết hợp của ba thành tố (N, K và S) theo một tỉ lệ khối lượng cố định và được cho như sau: ❤ Loại nguyên liệu ❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤ Tên thành tố N K S A 0,4 0,2 0,4 B 0,2 0,3 0,5 C 0,3 0,3 0,4 Giả sử x, y, z lần lượt là tỉ lệ khối lượng của các nguyên liệu A, B, C đóng góp trong một sản phẩm được sản xuất. (a) Tính các tỉ lệ khối lượng của các thành tố N, K, S chiếm trong một sản phẩm theo x, y, z. (b) Tìm x, y, z biết rằng một sản phẩm có tỉ lệ khối lượng của các thành tố như sau 0, 31 là N; 0, 26 là K và còn lại là S. (c) Gọi a, b lần lượt là tỉ lệ của các thành tố N, K trong một sản phẩm. Chứng minh rằng    0, 2 ≤ b ≤ 0, 3; 0, 5 ≤ a + b ≤ 0, 6; 0, 8 ≤ a + 2b ≤ 0, 9. Hướng dẫn giải (a): (2 điểm) Tỷ lệ của N trong sản phẩm là: 0, 4x + 0, 2y + 0, 3z. Tỷ lệ của K trong sản phẩm là: 0, 2x + 0, 3y + 0, 3z. Tỷ lệ của S trong sản phẩm là: 0, 4x + 0, 5y + 0, 4z. (b): (2 điểm) Ta có hệ phương trình    x + y + z = 1, 0, 4x + 0, 2y + 0, 3z = 0, 31, 0, 2x + 0, 3y + 0, 3z = 0, 26. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận bổ sung ta có: (x; y; z) = (0, 4; 0, 3; 0, 3). (c): (2 điểm) Gọi a, b lần lượt là tỷ lệ của N, K trong một sản phẩm. Ta có hệ phương trình    x + y + z = 1, 0, 4x + 0, 2y + 0, 3z = a, 0, 2x + 0, 3y + 0, 3z = b. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận bổ sung ta có: (x; y; z) = (3 − 10b; 6 − 10a − 10b; 10a + 20b − 8). Điều kiện để có một sản phẩm là 0 ≤ x, y, z ≤ 1. Từ đó suy ra:    0, 2 ≤ b ≤ 0, 3 0, 5 ≤ a + b ≤ 0, 6 0, 8 ≤ a + 2b ≤ 0, 9. 2