Tiêu đề CHƯƠNG 9. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP VÀ ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP-GV-P2.pdf ✅

1 Các bài toán hay thi vào 10. Bài 20: Cho ΔABC nhọn, nội tiếp đường tròn O . AD BE CF , , là ba đường cao của ΔABC cắt nhau tại H . a) Chứng minh bốn điểm A F H E , , , cùng thuộc một đường tròn. b) Kẻ đường kính AM của đường tròn O . Chứng minh AD AM AB AC . .  c) Gọi P là giao điểm của AH và EF . I là giao điểm của AM và BC . K là trung điểm của BC . Chứng minh H K M , , thẳng hàng và PI HK ∥ . Bài làm: a) Chỉ ra tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn đường kính AH . b) Chỉ ra ABC AMC  ( góc nội tiếp cùng chắn AC ) Chỉ ra ΔADB ΔACM g g ∽    Suy ra . . AD AB AB AC AD AM AC AM    c) Chỉ ra tứ giác BHCM là hình bình hành Suy ra hai đường chéo BC HM , cắt nhau tại trung điểm mỗi đường Suy ra M là trung điểm của HM H K M  , , thẳng hàng. Chỉ ra ABC AMC  ( góc nội tiếp cùng chắn AC ) Suy ra ΔADB ΔACM g g ∽    suy ra A A 1 2  , suy ra A A A A 1 3 2 3    hay BAI PAE  Chỉ ra tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC suy ra ABC AEF  ( cùng cộng CEF bằng 0 180 ) Chỉ ra   AE AP ΔAEP ΔABI g g AB AI ∽    1 Chứng minh   AE AH ΔAEH ΔABM g g AB AM ∽    2 Từ 1 , 2    AP AH AP AI PI HM AI AM AH AM      ∥ . 3 2 1 O B C A H D E F M P K I
2 Bài 21: Cho ΔABC nhọn, nội tiếp đường tròn O , các đường cao AD BE CF , , cắt nhau tại H . Kẻ đường kính AQ của đường tròn O cắt cạnh BC tại I a) Chứng minh bốn điểm A F H E , , , cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh BAD CAQ  c) Gọi P là giao điểm của AH và EF . Chứng minh ΔAEP ΔABI ∽ và PI HQ ∥ Bài làm: a) Chỉ ra tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn đường kính AH . b) Chỉ ra ABC AQC  ( góc nội tiếp cùng chắn AC ) Chỉ ra ΔABD ΔAQC g g ∽    , suy ra BAD CAQ  . c) Chỉ ra BAD DAI CAQ DAI BAI EAP      Chỉ ra tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC , suy ra ABC AEF  ( cùng cộng với 0 CEF 180 ). Chỉ ra ΔAEP ΔABI g g ∽    suy ra AP AE AI AB  1 Chỉ ra   AE AH ΔAEH ΔABQ g g AB AQ ∽    2 Từ 1 , 2    AP AH AP AI AI AQ AH AQ     suy ra PI HQ ∥ Bài 22: Cho ΔABC nhọn, nội tiếp đường tròn O , ba đường cao AD BE CF , , cắt nhau tại H a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp. b) Kẻ đường kính AK của đường tròn O , gọi M là hình chiếu vuông góc của C trên AK . Chứng minh AB AC AD AK . .  và MD BK ∥ . c) Giả sử BC là dây cố định của đường tròn O còn A di động trên cung lớn BC . Tìm vị trí của điểm A để diện tích ΔAEH lớn nhất. Bài làm: a) Chỉ ra tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH . b) Chỉ ra ABC AKC  ( góc nội tiếp cùng chắn AC ) Chỉ ra ΔADB ΔACK g g ∽    , suy ra . . AD AB AB AC AD AK AC AK    . Chỉ ra tứ giác ADMC nội tiếp đường tròn đường kính AC Suy ra AMD ACB  ( góc nội tiếp cùng chắn AD ) Chỉ ra ACB AKB  ( góc nội tiếp cùng chắn AB ) I Q D H O A B C E F P G M O K F E D H B C A
3 Suy ra AMD AKB  mà AMD AKB , đồng vị nên DM BK ∥ . c) Lấy G là trung điểm của BC , suy ra G là trung điểm của HK . Ta có 2 2 2 1 1 . . 2 2 2 4 AEH AE EH AH S AE EH     Mà ΔAHK có OG là đường trung bình 2 2     AH OG S OG AEH Do O G, cố định nên diện tích ΔAEH đạt giá trị lớn nhất bằng 2 OG . Khi 0 0 AE EH HAE ACB      45 45 hay A nằm trên cung lớn BC sao cho 0 ACB  45 Bài 23: Cho ΔABC nhọn nội tiếp đường tròn O với AB AC  . Vẽ đường cao AH của tam giác ABC và đường kính AD của đường tròn. AD cắt BC tại E . Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ C tới AD . a) Chứng minh bốn điểm A H K C , , , cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh rằng ΔEOM ΔECK ∽ và MK EM OC EO  c) Gọi I là trung điểm của AC . Chứng minh IM đi qua trung điểm của HK . Bài làm: a) Chỉ ra tứ giác AHKC nội tiếp đường tròn đường kính AC . b) Chỉ ra ΔOBC cân tại O OM  vừa là trung tuyến, vừa là Đường cao   OM BC . Chỉ ra ΔEOM ΔECK g g ∽    Chỉ ra tứ giác OMKC nội tiếp đường tròn đường kính OC Chỉ ra O M 1 1  ( góc nội tiếp cùng chắn KC ) Chỉ ra   ME MK ΔEMK ΔEOC g g OE OC ∽    . c) Chỉ ra AKH ACH  ( góc nội tiếp cùng chắn AH ) Chỉ ra ACB ADB  ( góc nội tiếp cung chắn AB ) Suy ra AKH ADB  , mà hai góc AKH ADB , đồng vị nên HK BD ∥ Chỉ ra tứ giác AHKC nội tiếp đường tròn đường kính AC . Mà I là trung điểm AC IH IK   . Suy ra ΔIHK cân tại I 1 Chỉ ra MI là đường trung bình của ΔABC MI AB  ∥ , mà AB BD MI BD    2 Từ 1 , 2     MI là trung trực của HK hay MI đi qua trung điểm của HK . I O M K E D H B C A 1 1
4 Bài 24: Cho đường tròn O có bán kính R . Điểm K nằm bên ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến KA KB , với đường tròn O ( A B, là các tiếp điểm) a) Chứng minh bốn điểm K A O B , , , cùng thuộc một đường tròn. Vẽ đường kính AC của đường tròn O . Chứng minh BC KO ∥ b) Chứng minh 2 BC KO R . 2  . Tính diện tích ΔABC theo R , biết OK R  2 Bài làm: a) Chỉ ra tứ giác KAOB nội tiếp đường tròn đường kính OK b) Gọi OK cắt O tại D , chỉ ra OK là tiếp tuyến của AOB Suy ra 1 1 1 2 2 O AOB   sđ AB ( góc ở tâm), chỉ ra 1 1 2 C  sđ AB ( góc nội tiếp) suy ra O C 1 1  , mà 1 1 O C, đồng vị nên BC OK ∥ . c) Chỉ ra C O 1 2  ( cùng bằng O1 ) Chỉ ra   2 . . . 2 2 BC AC ΔABC ΔKBO g g BC OK BO AC R R R BO OK ∽        . Chỉ ra AC OK R   2 , suy ra ΔABC ΔKBO  ( cạnh huyền – góc nhọn) Suy ra diện tích ΔABC bằng diện tích ΔKBO . Áp dụng Pythagore tính được BK R  3 , suy ra diện tích ΔOBK là 2 1 1 3 . . . 3 2 2 2 R OB BK R R   Bài 25: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn O , kẻ tiếp tuyến MA với O ( A là tiếp điểm). Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với OM tại H và cắt O tại B ( B A  ). Kẻ đường kính AC của đường tròn O . Tiếp tuyến tại C của đường tròn O cắt đường thẳng AB tại E . a) Chứng minh bốn điểm E H O C , , , cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh ΔAMB cân. c) Chứng minh BE BM BC BO . .  Bài làm: a) Chỉ ra tứ giác CEHO nội tiếp đường tròn đường kính OE . b) Chỉ ra ΔOAB cân tại O , suy ra OH là trung trực của AB MA MB   hay ΔMAB cân tại M . c) Chỉ ra E C 1 1  ( cùng phụ BCE ). Chỉ ra E O O 1 1 2   ( đồng vị) 2 1 1 O D K A C B 1 2 1 1 H M O B A E C