Tiêu đề CHƯƠNG I - PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - PHẦN 1.doc ✅

CHƯƠNG I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. PHƯƠNG PHÁP THẾ ĐẠI SỐ. Trong mục này, chúng ta sẽ tìm hiểu một trong những phương pháp có tính ứng dụng mạnh mẽ trong nhiều phương pháp giải hệ. Phương pháp này nó được xem là một công cụ mạnh mẽ nhất để giải hệ, dù tính chất của nó khá đơn giản nhưng tất cả các bước đi kỷ thuật nào đó để giải một hệ phương trình thì sau cùng cũng phải dùng nó để tìm ra kết quả. Nó có thể đóng vai trò trực tiếp hoặc gián tiếp để giải quyết một bài hệ phương trình. Tuy nhiên, trong đề mục này, chúng ta sẽ tìm hiểu lối đi giải các bài toán giải trực tiếp bằng phương pháp này. 1) Sử dụng phương pháp thế: Hệ phương trình được giải bằng phương pháp thế là loại hệ có thể cho dưới các hình thức sau :   yfx gx,y0         xfy gx,y0         kfx,y gx,y0      với k là hằng số.  Đối với hệ có dạng :   fx,yk gx,y0      ( k là hằng số) Ta thường giải quyết hệ này bằng phương pháp thế “hằng số k ”. Để nhận biết hệ phương trình bằng phương pháp thế hằng số, ta cần chú ý đến “hằng số” ở mỗi phương trình trong hệ có sự giống nhau hoặc có sự tương tác với nhau để tạo ra sự đồng bậc, sau đó tìm cách xây dựng các mối liên quan giữa các biến trong hệ khi thay hằng số bởi biến số. Với cách thay thế “ hằng số” như vậy để thành công thường chúng ta sẽ thu được một phương trình phân tích được nhân tử chung, phương trình giải bằng các phương pháp giải phương trình cơ bản. Có 2 kỷ thuật chính thường được áp dung.  Kỷ thuật 1: Thế trực tiếp hằng số để tạo được nhân tử chung đối với một số hệ hữu tỉ, hệ chứa căn thức mà mối quan hệ giữa các biến có liên quan chặt chẽ tới hằng số.  Kỷ thuật 2: Thế trực tiếp hằng số để tạo sự đồng bậc đối với một số hệ phương hữu tỉ, hệ chứa căn thức có dáng dấp của sự đẳng cấp. Mục tiêu chính là quan sát hệ để tạo ra tạo sự đồng bậc trong một phương trình trong hệ.
a) Kỷ thuật 1: Thế hằng số trực tiếp trong hệ để tạo nhân tử chung. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:   2 2xyxyx2x172y x4x173y       x,yℝ Phân tích : Nhìn vào hệ phương trình đang xét, ta thấy ngay cả hai phương trình trong hệ đều chứa số 7 . Do đó ý tưởng đầu tiên ta sẽ tìm mối liên quan giữa các biến xung quanh số 7 xem thế nào ? Ở phương trình thứ hai trong hệ biến đổi ta có : 274xx3y . Mặt khác ta lại có : 2x2x172y72xx2y . Khi đó ta có : 2224xx3y2xx2y2xy0 . Vậy rõ ràng khi thay 274xx3y vào phương trình thứ nhất trong hệ ta sẽ thu được một phương trình có nhân tử chung là 22xy . Từ đó ta nhận thấy hệ này giải quyết được bằng phương pháp thế hằng số. Lời giải : Từ phương trình thứ hai trong hệ ta có : 274xx3y . Thay vào phương trình thứ nhất trong hệ ta thu được phương trình : 2222xyxy2xx4xx3y2y222xyxy2xy 22y2x2xyxy10 y1x      Với 2y2x thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta có phương trình : 222 74xx6x2xx70 ( vô nghiệm)  Với y1x thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta có phương trình : 22 117317 xy 44 74xx31x2xx20 117317 xy 44       . Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm 117317117317x;y;;; 4444      .

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình  232 42 5 xyxyxyxy 4 5 xyxy12x 4         x;yℝ (Khối A – 2008) Phân tích : Rõ ràng nhìn vào hệ ta thấy cách đặt để của bài toán, ta có thể nghỉ ngay đến lựa chọn thế bằng hằng số. Tuy nhiên, với cách đặt để như thế này ta cần có một chút chuẩn bị trước để xem đường lối ta suy nghỉ sẽ trợ giúp chúng ta bao nhiêu phần trăm trên bước đường cụ thể hóa lời giải. Không khó chúng ta nhận thấy phương trình thứ hai chứa một hằng đẳng thức. Thật vậy, ta có : 242255xyxy12xxyxy 44 Ở phương trình thứ nhất trong hệ, ta thấy nếu ta nhóm nhân tử ta cũng thu được đại lượng 2xy . Thật vậy ta có : 232255xyxyxyxyxy1xyxy 44 Nhận xét khi thay hằng số cho nhau ta sẽ khử được đại lượng xy và bắt được nhân tử chung là đại lượng 2xy . Tới đây, ta nhận thấy hệ này vẫn có thể giải quyết tốt bằng phương pháp thế hằng số. Lời giải : Hệ phương trình đã cho được biến đổi thành hệ:   2 2 2 5 xy1xyxy 4 5 xyxy 4         . Khi đó từ hệ mới ta có : 222xy1xyxyxyxy22xy1xyxy0 2 2 yx 1xyxy     .