Tiêu đề Chương 1_Bài 3_ _Lời giải_Phần 1.pdf ✅

BÀI GIẢNG TOÁN 12-KNTT VỚI CS- PHIÊN BẢN 2025-2026 1 BÀI 3: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG Đường thẳng 0 y y = gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y f x = ( ) nếu 0 lim ( ) x f x y ®+¥ = hoặc 0 lim ( ) . x f x y ®-¥ = Ví dụ 1. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 3 2 ( ) 1 x y f x x - = = + . Lời giải Ta có: 2 3 3 2 lim ( ) lim lim 3 1 1 1 x x x x x f x x x ®+¥ ®+¥ ®+¥ - - = = = + + . Tương tự, lim ( ) 3 x f x ®-¥ = . Vậy đồ thị hàm số f x( ) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 3 . Ví dụ 2. Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 1 ( ) x y f x x + = = . Lời giải Ta có: 2 2 2 2 1 1 1 lim ( ) lim lim lim 1 1; x x x x x x f x ®+¥ ®+¥ ®+¥ ®+¥ x x x = = = + = 2 2 2 2 1 1 1 lim ( ) lim lim lim 1 1. x x x x x x f x ®-¥ ®-¥ ®-¥ ®-¥ x x x + + æ ö æ ö = = - = - + = - ç ÷ ç ÷ è ø è ø Vậy đồ thị hàm số f x( ) có hai tiệm cận ngang là y =1 và y = -1. Nhận xét. Đồ thị hàm số f x( ) như Hình 1.21.
BÀI GIẢNG TOÁN 12-KNTT VỚI CS- PHIÊN BẢN 2025-2026 2 2. ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG Đường thẳng 0 x x = gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y f x = ( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: 0 0 0 0 lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( ) . x x x x f x f x f x f x + + ® ® = +¥ = -¥ = -¥ = +¥ Ví dụ 3. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 3 ( ) 2 x y f x x - = = + . Lời giải Ta có: 2 2 3 lim ( ) lim x x 2 x f x x ® ® + + - = = +¥ + . Tương tự, 2 lim ( ) x f x ®- - = -¥ . Vậy đồ thị hàm số f x( ) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = -2.
BÀI GIẢNG TOÁN 12-KNTT VỚI CS- PHIÊN BẢN 2025-2026 3 Ví dụ 4. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 2 ( ) x y f x x + = = . Lời giải Ta có: 2 0 0 2 lim ( ) lim x x x f x x ® ® + + + = = +¥ . Tương tự, 0 lim ( ) x f x ® - = -¥ . Vậy đồ thị hàm số f x( ) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 0 . 3. ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN Đường thẳng y ax b a = + 1 ( 0) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y f x = ( ) nếu lim [ ( ) ( )] 0 x f x ax b ®®¥ - + = hoặc lim [ ( ) ( )] 0 x f x ax b ®-¥ - + = Ví dụ 5. Cho hàm số 1 ( ) 2 y f x x x = = + + . Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số f x( ) . Lời giải Ta có: 1 lim [ ( ) ] lim 0 x x 2 f x x ®+¥ ®+¥ x - = = + . Tương tự lim [ ( ) ] 0 x f x x ®-¥ - = . Vậy đồ thị hàm số f x( ) có tiệm cận xiên là đường thẳng y x = . Chú ý. Ta biết rằng nếu đường thẳng y ax b a = + 1 ( 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y f x = ( ) thì lim [ ( ) ( )] 0 x f x ax b ®+¥ - + = hoặc lim [ ( ) ( )] 0 x f x ax b ®-¥ - + = . Do đó 1 lim [ ( ) ( )] 0 x f x ax b ®+¥ x - + × = hoặc 1 lim [ ( ) ( )] 0 x f x ax b ®-¥ x - + × = . Từ đây suy ra ( ) limx f x a ®+¥ x = hoặc ( ) limx f x a ®-¥ x = . Khi đó, ta có lim [ ( ) ] x b f x ax ®+¥ = - hoặc lim [ ( ) ] x b f x ax ®-¥ = - . Ngược lại, với a và b xác định như trên, đường thẳng y ax b a = + 1 ( 0) là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y f x = ( ) . Đặc biệt, nếu a = 0 thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.
BÀI GIẢNG TOÁN 12-KNTT VỚI CS- PHIÊN BẢN 2025-2026 4 Ví dụ 6. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 2 2 ( ) 1 x x y f x x - + = = + . Lời giải Ta có: 2 2 ( ) 2 lim lim 1; x x f x x x a ®+¥ ®+¥ x x x - + = = = + 2 2 lim [ ( ) ] lim 2. x x 1 x b f x x ®+¥ ®+¥ x - + = - = = - + (Tương tự, ( ) lim 1, lim [ ( ) ] 2 x x f x f x x ®-¥ ®-¥ x = - = - .) Vậy đồ thị hàm số f x( ) có tiệm cận xiên là đường thẳng y x = - 2 . Nhận xét. Trong thực hành, để tìm tiệm cận xiên của hàm phân thức trong Ví dụ 6, ta viết: 2 2 4 ( ) 2 . 1 1 x x y f x x x x - + = = = - + Ta có: 4 lim [ ( ) ( 2)] lim 0 x x 1 f x x ®+¥ ®+¥ x - - = = + ; 4 lim [ ( ) ( 2)] lim 0. x x 1 f x x ®-¥ ®-¥ x - - = = + Do đó, đồ thị hàm số f x( ) có tiệm cận xiên là đường thẳng y x = - 2 . B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ 1.Phương pháp: Xét hàm phân thức trong đó P x Q x  ,   là hai đa thức của x , ta thường dùng phương pháp sau để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1. Tiệm cận đứng       = P x f x Q x Nếu     0 0 0 0 ì 1 ï í ï = î P x Q x thì đường thẳng = 0 x x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 2. Tiệm cân ngang ▪ Nếu bậc của P x( ) bé hơn bậc của Q x  thì đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là trục hoành. ▪ Nếu bậc của P x( ) bằng bậc của Q x  thì đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng = a y b , trong đó a b, lần lượt là hệ số của số hạng có số mũ lớn nhất của P x Q x  ,  . ▪ Nếu bậc của P x( ) lớn hơn bậc của Q x  thì đồ thị của hàm số không có tiệm cận ngang. 3. Tiệm cận xiên ▪ Nếu bậc của P x( ) bé hơn hay bằng bậc của Q x  hoặc bậc của P x( ) lớn hơn bậc của Q x  từ hai bậc trở lên thì đồ thị của hàm số không có tiệm cận xiên . ▪ Nếu bậc của P x( ) lớn hơn bậc của Q x  một bậc và P x( ) không chia hết cho Q x  thì đồ thị hàm số có tiệm cận xiên và ta tìm tiệm cận xiên bằng cách chia P x( ) cho Q x  và viết       = + + R x f x ax b Q x trong đó     lim 0 ®±¥ = x R x Q x . Suy ra đường thẳng y ax b = + là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. 2. Các ví dụ điển hình thường gặp Ví dụ 1. Tìm các đường tiệm cận của các đồ thị hàm số sau: