Tiêu đề 12582-giaitoan8.com.pdf ✅

PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU THÀNH PHỐ CẦN THƠ ĐỀ CHÍNH THÚ'C (Đề thi có 01 trang) ĐỀ THI CHỌN ĐỘI SƠ TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2024 – 2025 Môn thi: TOÁN Thời gian thi: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,0 điểm) a. Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn 1 1 1 a 2 b 3c + = Chứng minh 2 2 2 a 4 b 9c + + là số chính phương. b. Giải phương trình nghiệm nguyên dương: ( ) ( ) 2 2 3 5 0 x y x y + − + = Câu 2: (6,0 điểm) a. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 x x x x + + + + = 1 3 2 3 0 b. Giải hệ phương trình: ( )( ) 2 2 2 2 3 4 20 2 4 5 20 1 x y xy x y x y  + = −   − + − =  Câu 3: (2,0 điểm) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 3 3 3 4 2 2 2 a b b c c a a c b a c b + + + + +  + + + Câu 4: (7,0 điểm) Cho hình vuông ABCD,O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Gọi M là điểm trên cạnh BC,N là điểm trên cạnh CD sao cho MAN 45 = ( M không trùng B và C ). AM cắt DC tại I.BD cắt AM tại E . a. Chứng minh 2 2 2 AB cos CAN 1 AI + = b. Chứng minh 2 2 2 AB DN 2AE + = c. Gọi P là giao điểm của OM và BI . Chứng minh các đường thẳng AB,DM và CP đồng quy. Câu 5: (2,0 điểm) Trong một chiếc hộp có 100 tấm thẻ giống nhau, được đánh số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 109. Rút ngẩu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp. Tính xác suất của các biến cố sau: a. A: Rút được tấm thẻ mà tổng các chữ số trên thẻ đó là một số chính phương. b. B: Rút được tấm thẻ mà ghi số lớn hơn hoặc bằng hai chữ số tận cùng của số 2026 7 . Câu 6: (1,0 điểm) Mỗi điểm trong mặt phẳng được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác nửa đều (tam giác vuông có một góc 60 ) có cạnh huyền bằng 2025 và 3 đỉnh được tô cùng màu.
HƯỚNG DẪN Câu Nội dung cần đạt Điểm Câu 1: 2.0 điểm 1.a 1.0 điểm Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn 1 1 1 a 2 b 3c + = Chứng minh 2 2 2 a 4 9c + + bb là số chính phương ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 Vì , nên 2 3 2 3 6 3 2 2 6 3 0 2 2 6 3 0 4 9 4 9 2 2 6 3 ( 2 3 ) b a a b c ab c bc ac ab ab bc ac ab bc ac a b c a b c ab bc ac a b c + + = = + = − − = − − = + + = + + + − − = + − Vây 2 2 2 a 4 b 9c + + là số chính phương 0.25 0.25 0.25 1 điểm Giải phương trình nghiệm nguyên dương ( ) ( ) 2 2 3 5 0 x y x y + − + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 5 0 3 5 5 3 x y x y x x y y + − + = − = − - Nếu 3 5 0 x −  , thì 5 3 0 − y , suy ra y 1= ( vì y là số nguyên dương) với y 1= thì x 2 = - Nếu 3x 5 0 −  , suy ra x 1= vì x nguyên dương với x 1= thì y 2 = Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là (1;2),(2;1) 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 2: 6.0 điểm 2.a đi m 3.0 Giải phương trình ( ) ( ) 2 2 2 x x x x + + + + = 1 3 2 3 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 3 0 1 3 1 2 0 1 1 2 0 x x x x x x x x x x x x + + + + = + + + + = + + + + = Nếu 2 x x + + = 1 0 (phương trình vô nghiệm) Nếu 2 2 1 0, 1 x x x + + = = Vậy nghiệmcủa phương trình là x =1 0.5 1.0 0.5 1.0 3.0 điểm Giải hệ phương trình ( )( ) 2 2 2 2 3 4 20 2 4 5 20 1 x y xy x y x y  + = −   − + − = 