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1 Chapitre I Généralités sur les ondes I-1 Définition Une onde est la propagation d’une perturbation sans transport de matière. La perturbation dépend du type d’onde. Rappelons qu’il existe, principalement, trois types d’ondes : ➢ Les ondes mécaniques telles que le son, le ressort et la corde. La propagation de ces ondes nécessite un support physique qui se comprime et se dilate pendant le passage de l’onde. La perturbation en question peut être la pression. ➢ Les ondes électromagnétiques telles que la lumière, les infrarouges, les ultraviolets et les rayons X. Ces ondes peuvent se propager dans un matériau physique comme elles peuvent se propager dans le vide. La perturbation en question est le champ électrique et le champ magnétique ; ➢ Les ondes gravitationnelles qui sont des déformations de l’espace-temps, ne nécessitant, également, aucun support physique. I-2 Description mathématique d’une onde I-2-1 Représentation d’une onde monochromatique Commençons par le cas simple d’une source monochromatique (c'est-à-dire une source qui vibre avec une seule fréquence F0). Cette vibration peut bien être décrite par une fonction sinusoïdale de la forme : a(t) = A0 cos(2F0t +) = A0 cos(0t +) (I-1) où (voire figure I-1) :  a(t) est la grandeur physique décrivant la vibration à un instant t. Dans le cas des sources sonores a(t) désigne la pression. Dans le cas de la lumière a(t) désigne le champ électromagnétique, dans le cas des cordes, elle désigne le déplacement, etc ;  A0 est l’amplitude maximale de la vibration a(t) ;  F0 est la fréquence de vibration. Elle représente le nombre d’oscillations par seconde. Elle est exprimée en Hertz (Hz) et reliée à la période via la relation F0 = 1/T0 et à la pulsation  via la relation :  =F0 ;  (2F0t + ) est la phase de la vibration à un instant t ;   est la phase à l’origine des temps (à t = 0).
2 Figure I-1 : Vibration sinusoïdale L’onde émise par cette source peut se propager dans l’espace. Si on suppose qu’elle se propage sans déformation ni atténuation, le long d’un axe x. Elle peut être décrite par la relation : a(t, x) = A0 cos(2F0(t-x/v) +) = A0 cos(0t - k.x + ) (I-2) On a une double périodicité : ➢ Périodicité spatiale de longueur d’onde  = vT0 ; ➢ Périodicité temporelle de période T0. Le nombre d’onde k est relié à la longueur d’onde par : k=2/. On remarque que la fonction qui décrit l’onde est la même que celle qui décrit la source avec un décalage temporel  = x/v. En d’autre terme : à une distance x de la source, le point considéré vibre de la même manière que la source, mais en retard d’un temps  = x/v qui correspond à l’onde pour aller de la source au point M (figure I-2). Figure I-2 : Propagation d’une onde La description sinusoïdale des ondes monochromatiques est très simple à comprendre, mais pose des problèmes dans le cas de sommation de plusieurs ondes ou encore lorsque l’onde n’est pas monochromatique. Il est plus judicieux de remplacer le sinus par une exponentielle, soit : a(t, x) = A0 exp{j(2F0(t-x/v) +)} = A0 exp{j(0t – k.x +)} (I-3) a(t) a(t) temps temps x/v +A0 -A0 T0 temps
3 I-2-2 Représentation d’une onde polychromatique Une onde polychromatique, appelée aussi onde à large bande est une onde qui contient plusieurs fréquences Fi appartenant à un intervalle fréquentiel [F1 F2]. Ces fréquences peuvent être : ➢ continues, c’est le cas de la parole ou encore de la lumière émise par une lampe à incandescence. Dans ce cas, l’onde peut se décrire par :  ( )  = − + 2 1 ( , ) ( ).exp 2 ( ) ) F F a t x A F j Ft k F x  dF (I-4) ➢ discrètes, c’est le cas de la lumière générée par une lampe spectrale). Dans ce cas, l’onde peut se décrire par :   ( ) = = − + N i i i a t x A i j F t k x 1 ( , ) ( ).exp 2 ( )  (I-5) Signalons que lorsqu’on veut déterminer les fréquences Fi et les amplitudes correspondantes A(Fi) d’une onde polychromatique, on utilise la transformée de Fourier qui donne l’amplitude A(F) dans la bande fréquentielle [F1 F2]. I-2-3 Représentation d’une onde vectorielle En général, les ondes ont un aspect vectoriel et non pas scalaire, puisque la direction de vibration peut être différente de la direction de propagation. C’est le cas d’une corde, par exemple, où la vibration se fait dans une direction verticale, alors que la propagation se fait dans la direction horizontale. C’est aussi le cas des ondes électromagnétiques (lumière ultraviolet, infra-rouge, rayons X, etc.) où la propagation de l’onde se fait dans une direction perpendiculaire au plan de vibration du champ électrique et du champ magnétique. La description mathématique de telles ondes, nécessite la prise en compte de ces directions. Le paramètre a(t) qui décrit l’onde doit donc être un vecteur. La direction de propagation doit, également, être un vecteur, soit :       exp (ωt (k . k . k . ) ) exp (ωt (k . k . k . ) ) exp (ωt (k . k . k . ) ) a(t, r) A exp (ωt k.r ) 0 0 0 0     = − + + + = − + + + = − + + + = = − + a A j x y z a A j x y z a A j x y z j z z x y z y y x y z x x x y z (I-6) où : ✓ A0 est le vecteur amplitude de vibration de l’onde. Il désigne la direction de vibration appelé polarisation. ✓ k est le vecteur d’onde. Il désigne la direction de propagation de l’onde. Son amplitude est reliée à la longueur d’onde et à la vitesse de propagation par :
4 v   = = = 2π k k (I-7) I-2-4 Représentation d’une onde atténuée Si une onde se propage avec atténuation, alors le vecteur d’onde est complexe : k = kr − jkr (I-8) L’onde peut se mettre, alors, la forme :   A exp( .r)exp (ωt .r ) a(t, r) A exp (ωt ( jk ).r ) 0 0 i   = − − + = − − + i r r k j k j k (I-9) L’amplitude A exp( k i .r) 0 − décroit donc avec la distance (plus r est grand plus l’amplitude est faible). La direction de propagation de l’onde, la longueur d’onde ainsi que la vitesse de propagation sont donné par la partie réelle kr du vecteur d’onde, soit : k r   2 = k r v  = I-3 Ondes stationnaires Une onde stationnaire est créée lorsqu’on a propagation simultanée dans des sens opposés de deux ou plusieurs ondes de même fréquence et de même amplitude. L’onde résultante vibre avec des amplitudes qui dépendent de la position considérée. En effet, la grandeur vibratoire d’une telle onde présente, en notations réelles, un découplage de la variable d’espace x et de la variable de temps t, soit : y(x,t) = F(x).G(t) = A0cos(kx + 1).cos(t + 2) L’amplitude dépend donc du point où on se place. En certains points, appelés nœuds, l’amplitude est nulle et il n’y a aucune vibration. En d’autre points, appelés ventres, l’amplitude est maximale (figure I-3). Figure I-3 : Onde stationnaire Ventre neuds