Tiêu đề TOAN-10_C4_B11_11.1_TICH-VO-HUONG_TU-LUAN_HDG.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO Page 1 Sưu tầm và biên soạn BÀI 11. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 1. GÓC GIỮA HAI VECTƠ Cho hai vectơ u và v khác vectơ 0 . Từ một điểm A tuỳ ý, vẽ các vec tơ AB u = và AC v = (H.4.40). Khi đó số đo của góc BAC được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ u v, , kí hiệu là (u v, .) Chú ý • Quy ước rằng góc giữa hai vectơ u và 0 có thể nhận một giá trị tuỳ ý từ 0 đến 180 . • Nếu (u v, 90 ) = thì ta nói rằng u và v vuông góc với nhau, kí hiệu là u v ⊥ hoặc v u ⊥ . Đặc biệt vectơ 0 được coi là vuông góc với mọi vectơ. 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không u và v là một số, kí hiệu là uv. được xác định bởi công thức sau: u v u v cos u v . . . , . = ( ) Chú ý • u v u v ⊥  = . 0. hoặc v u ⊥ . • Tích uu. còn được viết là 2 u và được gọi là bình phương vô hướng của u. Ta có 2 2 u u u cos u = = . . 0 . ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , 0 . . , 180 u v u v u v u v  =  =   =  CHƯƠNG IV VECTƠ I LÝ THUYẾT. =
CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO Page 2 Sưu tầm và biên soạn Cho tam giác ABC có BC a CA b AB c = = = , , . Hãy tính AB AC . theo abc , , . Giải: Từ định lí côsin trong tam giác ABC suy ra 2 2 2 2 b c a cosA bc + − = Ta có 2 2 2 2 2 2 . . .cos . . . 2 2 AB AC AB AC cosA c b A b c a b c a c b bc = = + − + − = = 3. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG Tích vô hướng của hai vectơ u x y ( ; ) và v x y ( ; )   được tính theo công thức: u v x x u u . . . = +  Nhận xét • Hai vectơ u và v vuông góc với nhau khi và chỉ khi x x y y . . 0.   + = • Bình phương vô hướng của vectơ u x y ( ; ) là 2 2 2 u x y = + . • Nếu u  0 và v  0 thì ( ) 2 2 2 2 . cos , . . . u v xx yy u v u v x y x y   + = = + +   Các tính chất của tích vô hướng Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng: Với ba vectơ abc , , bất kì và mọi số k ta có: • a b b a . . = (tính chất giao hoán); • a b c a b a c ( + = + ) . . (tính chất phân phối); • (ka b k a b a kb ). . . = = ( ) ( ) ; • 2 2 a a a  =  = 0, 0 0 • 2 2 0 a a a a = = . .cos0 Luyện tập 2.
CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO Page 3 Sưu tầm và biên soạn Nhận xét. Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra: • ( ) 2 2 2 a b a a b b + = + + 2 . ; • ( ) 2 2 2 a b a a b b − = − + 2 . ; • ( )( ) 2 2 a b a b a b + − = − . 4.21. Trong mặt phẳng Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ a và b trong mỗi trường hợp sau: a) a b = − = ( 3;1), (2;6) b) a b = = (3;1), (2;4) c) a b = − = − ( 2;1), (2; 2) . Lời giải Vận dụng công thức tính góc giữa hai véc tơ ( ) . , . a b cos a b a b = a) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3.2 1.6 , 0 , 90 3 1 . 2 6 o cos a b a b − + = =  = − + + b) ( ) ( ) 2 2 2 2 3.2 1.4 10 1 , , 45 3 1 . 2 4 10 2 2 o cos a b a b + = = =  = + + c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 .2 1. 2 3 2 , 1 , 180 3 2 2 1 . 2 2 o cos a b a b − + − − = = = −  = − + + − 4.22. Tìm điều kiện của uv, để: a) u v u v . . = . b) u v u v . . = − . Lời giải a) Ta có u v u v cos u v  =  | | | | , ( ) do đó để u v u v  =  | | | | thì cos u v ( , 1 ) = hay (u v, 0 ) =  nên u v, cùng hướng . b) Ta có u v u v cos u v  =  | | | | , ( ) do đó để u v u v  = −  | | | | thì cos u v ( , 1 ) = − hay (u v, 180 ) =  nên u v, ngược hướng. 4.23. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1;2),B( 4;3). − Gọi M(t;0) là một điểm thuộc trục hoành. a) Tính AM BM. theo t. b) Tìm t để 0 AMB = 90 . Lời giải a) Ta có ( ) ( ) ( )( ) 2 AM t BM t AM BM t t t t = − − = + −  = − + + = + + 1; 2 , 4; 3 . 1 4 2.3 3 2 BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.
CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO Page 4 Sưu tầm và biên soạn b) Để AMB 90 = thì 2 1 . 0 3 2 0 2 t AM BM AM BM t t t  = − ⊥  =  + + =    = − Vậy với 1 2 t t  = −   = − thì AMB 90 = 4.24. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A( 4;1),B(2;4),C(2; 2). − − a) Giải tam giác ABC. b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC. Lời giải a) ( ) ( ) 2 2 AB = + + − = = 2 4 4 1 45 3 5 . ( ) ( ) 2 2 AC = + + − − = 2 4 2 1 45 ( ) ( ) 2 2 BC = − + − − = 2 2 2 4 6 b) Giả sử H x y ( ; ) ta có AH x y BC BH x y CA = + − = = − − = − ( 4; 1 , 0; , 2; 4 , 6; 3 ) ( −6) ( ) ( ) Vì H là trực tâm tam giác ABC nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 13 0 4 .0 1 . 6 0 13 2 ; 0 6 8 3 4 0 2 1 1 AH BC x y x H BH CA x y y      =  + + − − = =             = − − + − =       = . 4.25. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có: ( ) 1 2 2 2 . . 2 ABC S AB AC AB AC = − Lời giải Ta có ( ) 1 1 2 2 2 2 . .sin . 1 2 4 S AB AC A S AB AC cos A =  = − Hay ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 . 1 1 . 1 . . 4 . 4 AB AC S AB AC AB AC AB AC AB AC   = − = −             Vậy ( ) 1 2 2 2 2 ABC S AB AC AB AC =  −  4.26. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có: 2 2 2 2 2 2 2 MA MB MC MG GA GB GC + + = + + + 3 Lời giải ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 MA MB MC MG GA MG GB MG GC + + = + + + + + ( ) 2 2 2 2 = + + + + + + 3 2 MG MG GA GB GC GA GB GC 2 2 2 2 = 3MG GA GB GC + + +