Tiêu đề Bài 2_Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số_Lời giải.Image.Marked.pdf ✅

BÀI 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định nghĩa Cho hàm số y  f (x) xác định trên tập hợp D . Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f (x) trên D nếu f (x)  M với mọi x thuộc D và tồn tại 0 x thuộc D sao cho f  x0   M . Kí hiệu max ( ) D M  f x . Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f (x) trên D nếu f (x)  m với mọi x thuộc D và tồn tại 0 x thuộc D sao cho f  x0   m . Kí hiệu min ( ) D m  f x . Chú ý: Ta quy ước khi chi nói giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f (x) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f (x) trên tập xác định của nó. Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y  f (x)  2x  3 trên đoạn [3;1]; b) 2 y  g(x)  1 x . Lời giải a) Xét hàm số f (x)  2x  3 trên đoạn [3;1]. Với mọi x[3;1], ta có f (x)  2x  3  3. Mặt khác f (3)  3 . Do đó [ 3;1] min f (x) 3    . Với mọi x[3;1], ta có f (x)  2x  3  5. Mặt khác f (1)  5 . Do đó [ 3;1] max f (x) 5   . b) Xét hàm số 2 g(x)  1 x . Tập xác định: D  [1;1]. Ta có 0  g(x) 1 với mọi x[1;1]. Mặt khác g(0) 1 và g(1)  0 . Do đó [ 1;1] min g(x) 0   và [ 1;1] max g(x) 1   . Nhận xét: Nếu biết đồ thị của hàm số trên tập hợp D , ta có thể xác định được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D . Chẳng hạn: - Dựa vào đồ thị hàm số y  f (x)  2x  3 trên đoạn [3;1] , ta thấy với mọi x[3;1], f (x)  f (3) và f (x)  f (1) nên [ 3;1] min f (x) f ( 3) 3      và [ 3;1] max f (x) f (1) 5    . - Dựa vào đồ thị của hàm số 2 y  g(x)  1 x trên đoạn [1;1] , ta thấy với mọi x[1;1], g(x)  g(1) và g(x)  g(0) nên [ 1;1] min g(x) g(1) 0    và [ 1;1] max g(x) g(0) 1    .
Chú ý: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường được tìm bằng cách sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên. Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2 f (x)  x  6x  9x 1 trên nửa khoảng [1;) . Lời giải Ta có: 2 f (x)  3x 12x  9 ; f (x)  0  x 1 hoặc x  3. Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng [1;) : Từ bảng biến thiên, ta thấy [ 1; ) min f (x) f ( 1) 17       và hàm số không có giá trị lớn nhất trên [1;) . 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn Một cách tổng quát, cho hàm số y  f (x) liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm trên (a;b) và f (x)  0 chi tại một số hữu hạn các điểm trong (a;b), ta có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f (x) trên đoạn [a ; b] theo các bước nhu sau: Bước 1. Tìm các điểm 1 2 ; ; ; n x x  x thuộc khoảng (a;b) mà tại đó f (x) bằng 0 hoặc không tồn tại. Buớc 2. Tính ( );  1 ;  2 ; ;  ; ( ) n f a f x f x  f x f b . Buớc 3. Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: [ ; ] [ ; ] max ( ), min ( ). a b a b M  f x m  f x Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 2 f (x)  x 8x  9 trên đoạn [1;3]. Lời giải
Ta có: 3 f (x)  4x 16x ; 0 ( ) 0 2 2 ( không [ 1;3] ) x f x x x             f (1)  2; f (0)  9; f (2)  7; f (3) 18.Vậy [ 1;3] max f (x) f (3) 18    và [ 1;3] min f (x) f (2) 7     . Ví dụ 4. Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng 30cm và chiều dài 80cm , người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh x(cm) với 5  x 10 và gấp lại đề tạo thành chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không nắp như Hình 4b . Tìm x để thể tích chiếc hộp là lớn nhất . Lời giải Thể tích chiếc hộp là: 2 3 V (x)  x(30  2x)(80  2x)  2400x  220x  4x với 5  x 10 . Ta có: 2 V(x) 12x  440x  2400 20 ( ) 0 3 V x   x  hoặc x  30 Dựa vào đồ thị ta thấy [1;6] [1;6] max f (x)  f (1)  6;min f (x)  f (5) 1 b) Dựa vào đồ thị ta thấy [ 3;3] [ 3;3] max g(x) g(1) 7;min g(x) g( 3) g( 1) 1          2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) 3 y  x 12x 1 trên đoạn [1;3]; b) 3 2 y  x  24x 180x  400 trên đoạn 3 ; 11; c) 2 1 2 x y x    trên đoạn 3 ; 7; d) y  sin 2x trên đoạn 7 0; 12        . Lời giải a) Có 2 y  3x 12; y  0  x  2 hoặc x  2 . Có y(1) 12; y(2)  15; y(3)  8 . Vậy [ 1;3] [ 1;3] min y y(2) 15;max y y( 1) 12         . b) Có 2 y  3x  48x 180; y  0  x  6 hoặc x 10 . Có y(3)  49; y(6)  32; y(10)  0; y(11)  7 . Vậy [3;11] [3;11] min y  y(6)  32;max y  y(3)  49. c) Có 2 2 2( 2) (2 1) 5 0, [3;7] ( 2) ( 2) x x y x x x             . Có y(3)  7; y(7)  3 .