Tiêu đề 3.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP.docx ✅

3.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP Bài 1. Tìm lim n 1 !nn . Hướng dẫn giải Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức : n! > ( 3 n ) n (*) ( n  N * ). Bằng phương pháp qui nạp. Thật vậy : với n =1, ta có 1 > 1 3 (đúng). Giả sử (*) đúng với n = k tức là : k! > ( 3 k ) k. Ta đi chứng minh (*) đúng với. n = k+1. Ta có (k+1)! = k!(k+1) >( 3 k ) k (k+1) = ( 1 3 k ) k+1 . 3 1 (1)k k > ( 1 3 k ) k+1 . Bất đẳng thức cuối này đúng vì :. (1+ 1 k ) k =1+ k k + (1) . 2! kk 2 1 k +.+ (1)(2)....(1) ! kkkkk k  . 1 k k =. = 1+1+ 11 (1) 2!k +.+ 1121 (1)(1)...(1) ! k kkkk   < 1+1+ 1 2! +… + 1 !n <1+1+ 1 2 +.+ 1 1 2n <. <1+1+ 1 2 +.+ 1 1 2n +.< 1+ 1 1 1 2 = 3. Vậy (*) đúng với 1nk . Do đó ! 3 n n n    , từ đây ta suy ra ! 3 nn n . => 0 < 1 !nn < 3 n . Vì lim n 3 n = 0. Do đó theo định lý về giới hạn kẹp giữa ta suy ra: lim n 1 !nn = 0. Vậy 1 lim(2014) !nn =2014. Cho dãy số nx thoả mãn   12 5 21 * 22 1;2 ; 4 n n n xx x xn x         ℕ . Tính limnIx . Từ giả thiết suy ra mội số hạng của dãy đều dương.

Trường hợp 21nk , chú ý 21 55 2ka  , kết hợp với (1) thu được:. 1221221 55 ...(21) 2kkkaaaaak  . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 3. Cho dãy số thực 11:, 2nuu* 1, 1 n n u n nu ue un e ℕ . Chứng minh dãy trên có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Chứng minh 10,21nun . Với 2,n 2 1 2 1;0 1 e u e  đúng. Giả sử 1 đúng với 2nk , ta chứng minh 1 đúng với 1nk . Ta có 01nu nue 100 1 n n n u un u ue e e  . 1 1nu nue e ; 11 1 n nn n u uun nu ue uee e  11nuneu (luôn đúng). Vậy (1) được chứng minh. Xét hàm  1 x x xe fx e  trên ;0 . Ta có  2 1 ' 1 xx x exe fx e    . Hàm 1xgxxe có '10xgxe với mọi ;0x nên hàm này đồng biến trên ;0 . Suy ra 00gxg , suy ra  2 1 '0 1 xx x exe fx e    . hay hàm fx nghịch biến trên ;0 . Ta có 2 1 2 , 121 e e u ee   21 3 21 21 , 1 e e e e e e e u e      42uu . Suy ra 42fufu5310uuu . Quy nạp ta được dãy 21nu giảm và dãy 2nu tăng. Hơn nữa 10,2nun nên mỗi dãy trên tồn tại giới hạn hữu hạn. Giả sử 2lim,nua 21limnub,1;0ab , lấy giới hạn hai vế ta được.