Tiêu đề 8. HÌNH HỌC.docx ✅

CHƯƠNG 8. CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC Câu 1 . (Trường chuyên tỉnh An Giang năm 2023-2024) Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn, BH là đường cao kẻ từ B ( )HAC . Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC, F là điểm đối xứng của điểm H qua DE. a. Chứng minh rằng tứ giác ABFH nội tiếp. b. Chứng minh  .FBAEFH c. Chứng minh rằng BF đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lời giải O F ED H A BC a) Xét AHB vuông cân tại H có D là trung điểm ABDADBDH (1). Vì F là điểm đối xứng của điểm H qua DE nên DHDF (2). Từ (1) và (2) DADHDBDF . Suy ra bốn điểm A, H, B, F cùng thuộc được tròn đường kính AB. Vậy tứ giác ABFH nội tiếp. b) Tứ giác ABFH nội tiếp (câu 6a)  FBAFHE (3). Vì F là điểm đối xứng của điểm H qua DE nên .EHEF Suy ra EHF cân tại E  FHEEFH (4). Từ (3), (4)  .FBAEFH c) Vì F là điểm đối xứng của điểm H qua DE nên  1     5 2FDEHDF Từ câu 6a, có A, H, B, F thuộc đường tròn tâm D đường kính AB nên  1   6 2HAFHDF . Từ (5), (6)  .FDEHAFEAF Suy ra tứ giác FDAE nội tiếp. (7)
Xét đường tròn (O) tâm O ngoại tiếp ABC có D là trung điểm dây AB 0 90ODA E là trung điểm dây AC 0 90OEA Xét tứ giác ODAE có: 0 180ODAOEA Nên tứ giác ODAE nội tiếp đường tròn đường kính AO. (8) Kết hợp (7), (8) ,, , , ADFOE cùng thuộc đường tròn đường kính AO. 0 90AFOADO (cùng chắn cung AO). Mặt khác: 0 90AFB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) Suy ra: 0 180AFOAFB , nghĩa là B, F, O thẳng hàng. Vậy BF đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp .ABC Câu 2. (Trường chuyên tỉnh An Giang năm 2023-2024) Một nhà máy sản xuất ống thép khi xuất xưởng các ống thép được bó lại tạo thành khối gồm 37 ống như hình vẽ. Biết các ống có dạng hình trụ đường kính đáy bằng nhau và bằng 10 cm . Tính độ dài của một sơi dây đai để buột các ống thép lại với nhau Lời giải Đặt ,  drcm lần lượt là đường kính và bán kính của các ống thép 10;/2 5.dcmrdcm Ký hiệu các điểm như hình minh họa bên. Trong đó: A, B, M, N, H là các tiếp điểm giữa dây đai với các ống thép. D, C, E, F, O là tâm của một số ống thép. Giả sử các ống thép tiếp xúc khít nhau và dây đai buộc chính xác. Dễ thấy ABCD là hình chữ nhật. 33.1030   1ABCDdcm Nên hiển hiên các điểm A, D, H, E thẳng hàng. Xét DEF có: HÌNH VẼ
2222222223103 DEDHODOHrrrcm Tương tự cũng tính được 103 DFcm và 103 .EFcm Như vậy 103 DEEFDFcm nên DEF là tam giác đều 0 60.EDF Suy ra 0 60ADMEDF (đối đỉnh). Chiều dài cung AM bằng .5.605      2 1803  cm Từ hình vẽ, kết hợp (1) và (2) ta tính được chiều dài dây đai là: 56.6.3018010 . 3lcm Câu 3 . (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2023-2024) Cho đường tròn ;OR và điểm A sao cho 2OAR . Từ A vẽ hai tiếp tuyến ,ABAC của (O) (B, C là hai tiếp điểm). Vẽ dây cung CD của (O) song song với AB. Đường thẳng AD cắt (O) tại E khác A và cắt BC tại G. Qua G vẽ đường thẳng vuông góc với OG lần lượt cắt hai đường thẳng AB, AC tại M và N. a) Chứng minh tam giác OMN cân b) Gọi I là trung điểm của DE, OA cắt BC tại K. Chứng minh: 2IEIAIG c) Tia BE cắt AC ở H . Chứng minh CE đi qua trung điểm của HG. Lời giải a) Tứ giác OGMB nội tiếp đường tròn đường kính MO  .OMGOBG
Tứ giác OGCN nội tiếp đường tròn đường kính NO  ONGOCG Tuy nhiên tam giác OBC cân tại O  OBCOCBOMGONGOMN cân tại O. b) ta có: 90,AKGAIOAKGAIO đồng dạng ...AGAIAKAO Mặt khác, dễ thấy: 2.AKAOAB và 2ABAEADAGAIAEAD Khi đó: 2222()()AGAIAIIEAIIEAIIEIEAIAGAIIGIA c) Gọi T là giao điểm của HG và CE . Ta có:  BEDBCDCBAACBHEGC là tứ giác nội tiếp.  .HGCHECCDBCBA Đến đây ta chứng minh hai đường thẳng HG, AB song song với nhau . Kéo dài CE cắt AB tại F. Dễ thấy: ,FAEEDCECAFAEFCA đồng dạng 2.FAFEFC , mà 2 .FBFEFCF là trung điểm của AB. Đến đây sử dụng định lý Ta-lét , thì : TGCTTH TGTH FBCFFA hay T là trung điểm của GH. Câu 4 . (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2023-2024) Cho đường tròn (O) bán kính 1. Ba điểm phân biệt A, B, C thay đổi nằm trên đường tròn (O) sao cho điểm O nằm bên trong tam giác ABC . Các đường thẳng OA, OB, OC lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC, OCA, OAB tại M, N, P khác O. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 222SOMONOP Lời giải