Tiêu đề Chương 6_Bài 2_ _Lời giải_Toán 11_CD.pdf ✅

BÀI 2. PHÉP TÍNH LÔGARIT A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. KHÁI NIỆM LÔGARIT 1. Định nghĩa a) Tìm x trong mỗi trường hợp sau: 1 3 9;3 9 x x = = . b) Có bao nhiêu số thực x sao cho 3 5 x = ? Lời giải a) x 1 3 9 2; 3 2 9 x =  = =  = − x x b) Có một số thực x sao cho 3 5 x = . Cho hai số thực dương ab, với a khác 1 . Số thực c để c a b = được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là loga b , nghĩa là log c a c b a b =  = . loga b xác định khi và chỉ khi a a   0, 1 và b  0. Ví dụ 1. Tính: a) 2 log 8 ; b) 3 1 log 9 . Lời giải a) 2 log 8 3 = vì 3 2 8 = . b) 3 1 log 2 9 = − vì 2 1 3 9 − = . Luyện tập 1. Tính: a) 3 log 81 ; b) 10 1 log 100 . Lời giải a) 4 3 3 log 81 log 3 4 = = . b) 2 10 10 1 log log 10 2 100 − = = . 2. Tính chất Cho a a   0, 1 . Tính: a) log 1a ; b) loga a c) log c a a ; d) loga b a với b  0. Lời giải a) log 1 0 a = ; b) log 1 a a = ; c) log c a a c = ; d) loga b a b = .
Với số thực dương a khác 1 , số thực dương b , ta có: log 1 0 a = ; log 1 a a = log c a a c = ; loga b a b = . Ví dụ 2. Tính a) 3 5 log 5 ; b) 2 log 7 4 Lời giải a) 1 3 3 5 5 1 log 5 log 5 3 = = . b) ( ) ( ) 2 2 2 log 7 2 log 7 log 7 2 2 4 2 2 7 49 = = = = . Luyện tập 2. Tính: a) 5 4 log 16 ; b) 6 log 8 36 Lời giải a) ( ) 1 2 5 2 5 5 4 4 4 2 log 16 log 4 log 4 5 = = = b) 6 6 6 log 8 log 8 log 8 36 6 .6 8.8 64 = = = 3. Lôgarit thập phân. Lôgarit tự nhiên • Lôgarit cơ số 10 của số thực dương b được gọi là lôgarit thập phân của b và kí hiệu là logb hay lgb . • Lôgarit cơ số e của số thực dương b được gọi là lôgarit tự nhiên của b và kí hiệu là lnb . Ví dụ 3. Tính a) log 0,0001 ; b) 2 ln e . Lời giải Ta có: a) 4 log 0,0001 log10 4 − = = − . b) 2 ln 2 e = . Luyện tập 3. Giải bài toán được nêu ở phần đầu bài. Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức: pH H log + = −     với H +     là nồng độ ion hydrogen. Người ta đo được nồng độ ion hydrogen của một cốc nước cam là 4 10− , nước dừa là 5 10− (nồng độ tính bằng mol 1 L − ). Lời giải Độ pH của cốc nước cam là: 4 log10 4 − − = . Độ pH của cốc nước dừa là: 5 log10 5 − − = .
II. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TÍNH LÔGARIT 1. Lôgarit của một tích, một thương Cho 7 3 m n = = 2 , 2 . a)Tính log2 (mn) ; 2 2 log log m n + và so sánh các kết quả đó. b) Tính 2 log m n       ; 2 2 log log m n − và so sánh các kết quả đó. Lời giải a) log = 10; log log 10 log log log 2 2 2 2 2 2 (mn m n mn m n ) + =  = + ( ) b) 2 2 2 2 2 2 log =4; log log 4 log log log m m m n m n n n         − =  = −     . Với ba số thực dương a m n , , và a 1 , ta có: log log log a a a (mn m n ) = + ; log log log a a a m m n n     = −   . Ta có: ( ) 1 log log 0, 1, 0 a a b a a b b     = −      . Ví dụ 4. Tính: a) 6 6 log 9 log 4 + ; b) 5 5 log 100 log 20 − . Lời giải Ta có: a) log 9 log 4 log 9.4 log 36 2 6 6 6 6 + = = = ( ) . b) 5 5 5 5 100 log 100 log 20 log log 5 1 20 − = = = . Chú ý: Với n số dương 1 2 , ,..., n b b b : log ... log log ... log 0, 1 a n a a a n (b b b b b b a a 1 2 1 2 ) = + + +   ( ) . Luyện tập 4.Tính: a) ln 5 2 ln 5 2 ( + + − ) ( ) ; b) log 400 log 4 − ; c) 4 4 4 32 log 8 log 12 log 3 + + . Lời giải a) ln 5 2 ln 5 2 ln 5 2 . 5 2 ln 5 4 ln1 0 ( + + − = + − = − = = ) ( ) (( ) ( )) ( )
b) 400 log 400 log 4 log log100 2 4   − = = =     c) 4 4 4 4 4 32 32 log 8 log 12 log log 8. 12. log 1024 5 3 3   + + = = =     2. Lôgarit của một lũy thừa Cho a a b    0, 1, 0,  là một số thực. a) Tính loga b a  và loga b a  . b) So sánh loga b  và loga  b . Lời giải a) log log ; a a b b a b a b     = = b) log log a a b b  = Cho a a b    0, 1, 0 . Với mọi số thực  , ta có: log log a a b b  = . Cho a a b    0, 1, 0 . Với mọi số nguyên dương n  2 , ta có: 1 log log n a a b b n = . Ví dụ 5. Tính: a) 2 3 log 9 b) 5 5 log 15 2log 3 − . Lời giải Ta có: a) 2 2 3 3 3 3 log 9 2log 9 2log 3 2.2.log 3 4 = = = = . b) ( ) 2 5 5 5 5 5 5 5 5 15 log 15 2log 3 log 15 log 3 log 15 log 3 log log 5 1 3 − = − = − = = = . Luyện tập 5. Tính 3 3 3 1 2log 5 log 50 log 36 2 − + . Lời giải 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 2log 5 log 50 log 36 log 5 log 50 log 6 log log 6 log 3 1 2 2 − + = − + = + = = 3. Đổi cơ số của lôgarit HĐ 5: Cho ba số thực dương abc , , với a c   1, 1. a) Bằng cách sử dụng tính chất loga b b a = , chứng tỏ rằng log log log c a c b b a =  . b) So sánh loga b và log log c c b a . Lời giải a) Để chứng minh log log log c a c b b a =  , chúng ta sẽ sử dụng quy tắc của logarit: loga b b a =