Tiêu đề Ly thuyet chuoi.pdf ✅

LÝ THUYẾT CHUỖI: CHUỖI SỐ DƯƠNG, CHUỖI ĐAN DẤU VÀ CHUỖI LŨY THỪA Hà Văn Hiếu (SĐT/zalo: 0972236365, email: [email protected]) 1 Dãy số 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 (Giới hạn của dãy số) Cho dãy số (an)n (hoặc viết tắt là (an)). Ta nói rằng dãy số (an) hội tụ về L khi n → ∞ nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi n ≥ N, ta có: |an − L| < ε. Ký hiệu: limn→∞ an = L hoặc an → L (n → ∞). Nếu dãy (an) không có giới hạn hữu hạn, ta nói rằng dãy số phân kỳ. Ví dụ 1.2 Dãy số (an) với an = 1/n hội tụ về 0. 1.2 Tính chất của giới hạn dãy số • Tính duy nhất: Nếu dãy (an) có giới hạn, thì giới hạn đó là duy nhất. • Giới hạn của hằng số: Nếu an = c với mọi n, thì: limn→∞ an = c. • Tính bảo toàn bất đẳng thức: Nếu an ≤ bn với mọi n ≥ N, và nếu: limn→∞ an = L, limn→∞ bn = M, thì L ≤ M. • Tính chất cộng: Nếu limn→∞ an = A và limn→∞ bn = B, thì: limn→∞ (an + bn) = A + B. 1
• Tính chất nhân: Nếu limn→∞ an = A và limn→∞ bn = B, thì: limn→∞ (an · bn) = A · B. • Tính chất chia: Nếu limn→∞ an = A, limn→∞ bn = B và B ̸= 0, thì: limn→∞ an bn = A B . 1.3 Các dãy số thường gặp • Dãy số hằng: an = c =⇒ limn→∞ an = c. • Dãy số phân số: an = 1 n =⇒ limn→∞ an = 0. • Dãy cấp số nhân: an = arn−1 – Nếu |r| < 1, an → 0. – Nếu |r| = 1, dãy không có giới hạn (trừ khi r = 1). – Nếu |r| > 1, an → ∞. • Dãy lũy thừa: an = 1 np – Nếu p > 0, an → 0. – Nếu p ≤ 0, dãy phân kỳ. • Dãy cấp số cộng: an = a + (n − 1)d – Nếu d = 0, dãy hội tụ về a. – Nếu d ̸= 0, dãy phân kỳ. • Dãy dao động: an = (−1)n =⇒ dãy không có giới hạn. • Dãy mũ: limn→∞ 1 + 1 n n = e • Dãy logarit: limn→∞ ln n n = 0 • Dãy căn bậc n: limn→∞ √n n = 1 2

Dãy an = n α là dãy vô hạn lớn với mọi α > 0 và vô hạn bé với mọi α < 0. Lưu ý 1.6 Dãy an = √n n không phải là dãy vô hạn bé hay vô hạn lớn vì limn→∞ √n n = 1 2 Chuỗi số 2.1 Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 2.1 (Chuỗi số) Cho a1, a2, . . . , an, . . . là một dãy số, biểu thức a1 + a2 + · · · + an + · · · được gọi là chuỗi số và được ký hiệu là P∞ n=1 an. Các số a1, a2, . . . , an, . . . được gọi là các số hạng của chuỗi, un với n tổng quát được gọi là số hạng tổng quát. Tổng Sn = Xn i=1 ai = a1 + a2 + · · · + an được gọi là tổng riêng thứ n. Định nghĩa 2.2 (Sự hội tụ của chuỗi) Cho chuỗi số P∞ i=1 un. • Nếu Sn dần tới một giới hạn hữu hạn S khi n → ∞, tức là limn→∞ Sn = S, thì ta nói chuỗi P∞ n=1 an hội tụ và có tổng là S. • Ngược lại, nếu limn→∞ Sn không tồn tại hoặc bằng ±∞, thì ta nói chuỗi P∞ n=1 an phân kỳ. Ví dụ 2.3 Xét chuỗi số X∞ n=1 q n−1 . Đây là chuỗi số tương ứng với một dãy cấp số nhân có công bội q. Với q ̸= 1, tổng riêng phần Sn là: Sn = q n − 1 q − 1 . • Nếu |q| < 1 thì |q| n → 0 khi n → ∞, do đó: Sn → 1 1 − q , khi n → ∞. Vậy chuỗi số hội tụ và có tổng: S = 1 1 − q . 4