Tiêu đề CHUYÊN ĐỀ 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP 1. Định nghĩa về nghiệm của phương trình Cho hàm số xác y  f (x) định trên D. Giá trị thỏa mãn được gọi là nghiệm của 0 x  D f  x0   0 phương trình trên D. f (x)  0 2. Định lí Bơzu: Nếu đa thức hệ số thực có f (x) nghiệm thì ta có phân tích x  a f (x)   x  a g  x với g  x là một đa thức hệ số thực. 3. Cơ sở phương pháp nhân liên hợp * Giả sử ta cần giải phương trình và f (x)  0 đã biết trước được một nghiệm . Khi đó ta tìm 0 x  x cách phân tích đưa phương trình f (x)  0 về dạng .  x  x0  g  x  0 * Để phân tích được về thừa số ta chuyển các biểu thức vô tỉ về các đa thức. Chẳng hạn trong 0 x  x phương trình có hạng tử thì ta ghép ( ) với ta được: n P x 0 ( ) n P x           0 0 1 2 2 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n n P x P x P x P x P x P x P x P x P x             * Để thuận lợi trong việc phân tích, ta cần nắm vững các hằng đẳng thức sau đây:    2 2 a  b  a  b a  b    3 3 2 2 a  b  a  b a  ab  b ...................................    1 2 2 1 ... n n n n n n a b a b a a b ab b            Ví dụ 1. Giải phương trình: 3 x 1  2 3x 1  6 Hướng dẫn giải Điều kiện: x  1 Nhận thấy phương trình đã cho có nghiệm nên ta x  3 biến đổi phương trình đã cho như sau   3 x 1  2  2 3x 1  2  0     2 3 3 3 6 3 0 1 2 3 1 2 3 1 4 x x x x x                2 3 3 1 6 3 0 1 2 3 1 2 3 1 4 x x x x                  
  2 3 3 3 1 6 0 (*) 1 2 3 1 2 3 1 4 x x x x              Vì nên (*) vô     nghiệm. 2 2 3 3 3 x 1  2  0, 3x 1  2 3x 1  4  3x 1 1  3  0 Vậy tập nghiệm của phương trình là S  3 Nhận xét: Trong lời giải trên có hai mấu chốt quan trọng là: * Nhẩm trước một nghiệm của phương trình. Khi nhẩm nghiệm ta thường ưu tiên các giá trị của x để các biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là một lũy thừa tương ứng với bậc của căn. * Dùng lượng liên hợp để tạo ra nhân tử . x  3 Ở đây ta thường thêm bớt các hạng tử phù hợp để tạo ra thừa số chung. Trong bài trên với thì và nên ta ghép và x  3 x 1  2 3 3x 1  2 x 1  2 . 3 3x 1  2 Ví dụ 2. Giải phương trình , với 2 2x  x  2  2x  2x  3  3 5 2 x  Hướng dẫn giải Với điều kiện: , phương trình tương đương với 5 2 x    2 2 2x  x  2  2 2x  3  2x  x  2  2  2 2x  2  0   2 2 2 2 2 9 10 2 6 2 2 4 0 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x                          2 2 2 2 5 2 2 3 4 2 0 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x                  2 2 2 2 5 2 3 4 0 (*) 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x                   Vì nên phương trình (*) vô nghiệm. 5 2 x  Vậy tập nghiệm của phương trình là . S  2 Ví dụ 3. Giải phương trình 3 3 x  3 3x  2  2 Hướng dẫn giải Phương trình đã cho tương đương với   3 3 x  8  3 3x  2  2  0
       2 2 3 3 9 2 2 2 4 0 3 2 2 3 2 4 x x x x x x              x  2.A  0 (*) Với      2 2 3 3 A  x  2x  4 3x  2  2 3x  2  4  9     2 2 3 x 1 3 3x 2 1 3 9 0                  Dấu đẳng thức xảy ra khi . x  1 Do đó (*) 1 2 x x        Vậy tập nghiệm của phương trình là . S  1;2 Ví dụ 4. Giải phương trình 2 3 3 3x  3x 1 1  6x  2 Hướng dẫn giải Nhận thấy phương trình có nghiệm nên ta x  1 biến đổi như sau 2 3 3 3x  3x 1 1  6x  2  2        2 2 2 3 3 3 3 1 6 1 1 3 3 1 1 6 2 2. 6 2 4 x x x x x x x x x                     2 2 2 3 3 3 3 1 2 1 * 3 3 1 1 6 2 2. 6 2 4 x x x x x x x x                 Từ (*) và phương trình đề bài ta suy ra     2 3 3 2 3 3 3 3 2 1 6 2 6 2 2. 6 2 4         x x x x x x Đặt , ta có: 3 3 a  6x  2   2 2 2 4 2 1 4 1 2 a a x x a x a x a x                3 1 1 2 2 4 2 2 3 a x x a x x a x x a                    Thử lại ta thấy không thỏa mãn phương trình. 3 4 3 x  
Vậy tập nghiệm của phương trình là . S  1 Ví dụ 5. Giải phương trình 2 x 1 x  4x 1  3 x Hướng dẫn giải Điều kiện 2 0 4 1 0 x x x        Ta thấy phương trình có hai nghiệm . 2 x 1 x  4x 1  3 x 1 4, 4 x  x  Mà hai nghiệm này là nghiệm của tam thức nên ta tìm cách tạo ra thừa số . Ta biến 2 17 1 4 x  x  2 17 1 4 x  x  đổi phương trình đã cho như sau: 5 2 1 1 4 1 0 2 2 x   x  x  x   x  2 2 2 17 17 1 1 4 4 0 5 1 1 4 1 2 2 x x x x x x x x x             2 2 17 1 1 1 0 4 5 1 1 4 1 2 2 x x x x x x x                           2 1 17 1 0 4 4 4 x x x x            Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: . 1 4, 4 S        Ví dụ 6. Giải phương trình   2 2 x  x 1  x  2 x  2x  2 Hướng dẫn giải Vì không là x  2 nghiệm của phương trình nên ta có: phương trình 2 2 1 2 2 2 x x x x x        2 2 1 2 2 3 3 2 x x x x x          2 2 2 2 2 2 7 2 7 2 7 0 2 2 3 2 2 2 1 (*) x x x x x x x x x x x x                      Vì (*) vô nghiệm, nên phương trình có hai nghiệm: . x  1 2 2