Tiêu đề Chuyên đề 16. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ CÔNG THỨC NGHIỆM.doc ✅

Chương 4. HÀM SỐ 20YAXA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Chuyên đề 16. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ CÔNG THỨC NGHIỆM A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa. Phương trình bậc hai có một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: 2 0axbxc trong đó x : ẩn số. ,,0abca : là hệ số 2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Xét phương trình 200axbxca và biệt thức 24bac  Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 12; 22 bb xx aa    Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép: 122 b xx a  Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm Chú ý: Nếu phương trình 200axbxca có a và c trái dấu tức là 0ac thì 240bac . Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt. 3. Công thức nghiệm thu gọn Đối với phương trình 200axbxca và 22,bbbac  Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 12;bb xx aa    Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép: 12 b xx a    Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho hai số thực ;ab không âm thỏa mãn 184.2013ab . Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: 218467190axbxa (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hà Nam, Năm học 2012 – 2013) Giải Tìm cách giải. Để chứng minh phương trình 20axbxc luôn có nghiệm, nếu chưa có điều kiện gì của a . Ta cần xét hai trường hợp: Trường hợp 1. Xét 0a , chứng tỏ phương trình 0bxc có nghiệm Trường hợp 2. Xét 0a , chứng tỏ 0 (hoặc 0 ) Trình bày lời giải  Xét 0a , từ giả thuyết suy ra 420130bb nên phương trình 467190bxa luôn có nghiệm  Xét 0a Ta có: 2224186719412078162baabaa 222246.201316246184162baabaaba 22224245426180bababaa Suy ra phương trình luôn có nghiệm Ví dụ 2: Cho hai phương trình bậc hai 20xaxb và 20xcxd . Trong đó 2acbd . Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm Giải
Tìm cách giải. Những bài toàn chứng minh ít nhất một trong hai phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng minh ít nhất một trong hai  không âm. Tức là chứng minh 120 Trình bày cách giải Xét 22 124;4abcd Suy ra 22222124420abcdacacac 120 . Vậy ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm Ví dụ 3: Tìm các giá trị của tham số m để hai phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm chung: 2 40xmx (1) và 240xxm (2) (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Vĩnh Long, năm học 2009 – 2010) Giải Tìm cách giải. Để giải dạng toán này, ta gọi 0x là nghiệm chung của hai phương trình, thì 0x thỏa mãn cả hai phương trình. Từ đó ta được hệ phương trình, sau đó:  Khử 2 0x  Tìm 0x hoặc tìm m (có bài biểu thị 0x theo m )  Thử lại với m tìm được, rồi kết luận Trình bày cách giải Gọi m là nghiệm chung của hai phương trình, ta có: 2 00 2 00 40 40 xmx xxm      Suy ra 00440410mxmmx  Với 4m . Hai phương trình có dạng 24402xxx Vậy hai phương trình có nghiệm chung là 2x  Với 01x thay vào phương trình (1) hoặc (2) ta được 5m . Với 5m thì phương trình (1) là 2 540xx có nghiệm 1;4xx , thì phương trình (2) là 2450xx có nghiệm 1;5xx . Do đó hai phương trình có nghiệm chung là 1x . Vậy với 4;5m thì hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung Ví dụ 4: Giải phương trình 3210xaxbx , biết rằng ;ab là các số hữu tỉ và 12 là một nghiệm của phương trình (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hà Tĩnh, năm học 2010 – 2011) Giải Tìm cách giải. Những dạng toán trên ta cần xác định a và b trước. Khi thay 12x vào phương trình, ta lưu ý rằng ,ab là các số hữu tỉ nên vận dụng tính chất: Nếu ,,pxy là các số hữu tỉ mà x0py , trong đó p không phải là bình phương của số hữu tỉ thì 0xy Trình bày cách giải Ta có: 12x là một nghiệm của phương trình nên: 3212121210ab 252380abab Vì ;ab là số hữu tỉ nên 2503 3801 aba abb     Thay vào phương trình, tra được: 3222103101210 210 x xxxxxx xx      Giải ra, ta được tập nghiệm của phương trình là: 1;12;12S Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1Pxy trong đó ;xy là các số thực thỏa mãn 2013201310061006 2...xyxy (1)
(Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Phú Yên năm học 2012 – 2013) Giải Trường hợp 1: Nếu 0x thì 0y (hoặc ngược lại) suy ra 1P Trường hợp 2: Xét 0;y0x Chia hai vế của (1) cho 10061006 .xy ta được: 10061006 2xy xy yx     Đặt 10061006 21 .20xy txtty yxt     Đây là phương trình bậc hai đối với t . Xét 1xy Để tồn tại ;xy tức là tồn tại t thì 010;0xyP Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0 khi t là nghiệm kép của phương trình 1006 20121111 10x xyxtx yxyxx     11xy Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0. Khi 1xy C. Bài tập vận dụng 16.1. Cho phương trình 2420xabxab (1) ( ;ab là tham số) a) Giải phương trình (1) với 1;2ab b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi ;ab Hướng dẫn giải – đáp số a) Với 1;2ab phương trình có dạng: 2421220xxx Xét 221242120  12 12121212 21 ; 4242  xx b) Xét 2240ababab với mọi ;ab Vậy phương trình luôn có nghiệm 16.2. Cho ,,,abcd là các số thực 221ab . Chứng minh rằng phương trình: 2222212110abxacbdxcd luôn có hai nghiệm. (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2004 – 2005) Hướng dẫn giải – đáp số Xét 22222111acbdabcd (*) + Do 2222110abab Nếu 22221100cdcd Nếu 221cd . Đặt 22221;1uabvcd (Điều kiện 01;01uv ) Xét 242224acbduv 22222224abupdvacbduv 22222440 acbduvuvuvuvuv 0 . Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm 16.3. Cho phương trình 2 10axbx với ;ab là các số hữu tỉ. Tìm ;ab biết 53 53x   là nghiệm của phương trình
Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: 25353 415 5353    x là nghiệm của phương trình nên: 2415415031418150abcabab Do a và b là các số hữu tỷ nên: 314101 808     aba abb 16.4. Với giá trị nào của b thì hai phương trình 2201111020xbx (1) và 2110220110xbx (2) có nghiệm chung. (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Tiền Giang, năm học 2009 – 2010) Hướng dẫn giải – đáp số Gọi 0x là nghiệm chung của hai phương trình đã cho, ta có: 22 0000 22 000 201111020110220110 110220110909909      xbxxbx xbxx   2 00 0 1102201101 12      xbx x Với 01x thay vào phương trình (1) ta được 3113b Với 01x thay vào phương trình (1) ta được 3113b Thử lại:  Với 3113b , thì phương trình (1) là 2 2011311311020xx có nghiệm 1102 1; 2011xx và phương trình (2) là 2 1102311320110xx có nghiệm là 2011 1; 1102xx , nghiệm chung là 1x  Với 3113b , thì phương trình (1) là 2 2011311311020xx có nghiệm 1102 1; 2011xx và phương trình (2) là 2 1102311320110xx có nghiệm là 2011 1; 1102  xx , nghiệm chung là 1x Vậy với 3113b thì hai phương trình đã cho có nghiệm chung 16.5. Tìm số nguyên a để hai phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm chung 2 80xax (1) và 20xxa (2) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt 0x là nghiệm chung của ai phương trình, ta có:   2 00 2 00 801 02      xax xxa , ta có: Từ phương trình (1) và (2) trừ từng vế ta được: 001.801.8axaaxa (*) Với 101aa thì từ (*) không tồn tại 0x nên điều kiện 1a Từ phương trình (*) ta có: 0 8 1    a x a thay vào phương trình (2) ta được:   2 3 2 88 024720 11    aa aaa aa 266120aaa (**) Ta có: 2212330aaa nên (**) 606aa Với 6a thì phương trình (1) là 2680xx có nghiệm 122;4xx