Nội dung text Chương 5_Bài 2_ _Lời giải_Phần 1_Toán 12_CD.docx
BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. Phương trình đường thẳng 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng Cho đường thẳng và vectơ u→ khác 0→ . Vectơ u→ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của u→ song song hoặc trùng với . Nhận xét: Nếu u→ là vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì 0kuk→ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó. Ví dụ 1. Trong Hình 23, các vectơ ,ABCD →→ và AB→ có là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB hay không? Vì sao? Lời giải Do vectơ AB → khác 0→ và có giá là đường thẳng AB nên vectơ AB → là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB . Do các vectơ ,CDAB→→ khác 0→ và có giá lần lượt là các đường thẳng ,CDAB song song với đường thẳng AB nên hai vectơ đó đều là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB . 2. Phương trình tham số của đường thẳng Hệ phương trình 0 0 0 xxat yybt zzct , trong đó ,,abc không đồng thời bằng 0, t là tham số, được gọi là phương trình tham số của đường thẳng đi qua 0000;;Mxyz và có vectơ chỉ phương ;;uabc→ . Ví dụ 2. a) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm 2;1;4A và có vectơ chỉ phương 3;4;5u→ .
b) Cho đường thẳng có phương trình tham số là: 12 57 9 xt yt zt ( t là tham số). Chỉ ra tọa độ một vectở chỉ phương của và một điểm thuộc đường thẳng . Lời giải a) Phương trình tham số của đường thẳng là: 23 14 45 xt yt zt ( t là tham số) b) Tọa độ của một vectơ chỉ phương là 2;7;9u→ . Ứng với 0t ta có: 12.01 57.05 9.00 x y z Suy ra điểm 1;5;0B thuộc đường thẳng . 3. Phương trình chính tắc của đường thẳng Nếu 0abc thì hệ phương trình 000xxyyzz abc được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua 0000;;Mxyz và có vectơ chỉ phương ;;uabc→ . Ví dụ 3. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm 1;3;6A và có vectơ chỉ phương 9;2;13u→ . Lời giải Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm 1;3;6A và có vectơ chỉ phương 9;2;13u→ là: 136 9213 xyz 4. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước Đường thẳng đi qua hai điểm 000111;;,;;AxyzBxyz có: - Phương trình tham số là: 010 010 010 xxxxt yyyyt zzzzt ( t là tham số). - Phương trình chính tắc là: 000 101010 xxyyzz xxyyzz (với 010101,,xxyyzz ). Ví dụ 4. Lập phương trình chính tắc và phương trình tham số của đường thẳng AB biết 4;1;2A và 5;8;6B
Lời giải - Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: 412412 . 548162174 xyzxyz - Phương trình tham số của đường thẳng AB là: 4 17 ( là tham sô). 24 xt ytt zt II. Vị trí tương đối của hai đường thẳng 2121//,uu→→ cùng phương và 112,uMM→→ không cùng phương 12 112 ,0 ,0 uu uMM →→→ →→ → 1 cắt 221,uu→→ không cùng phương và 1212,,uuMM→→→ đồng phẳng 12 1212 ,0 ,.0. uu uuMM →→→ → →→ 1 và 2 chéo nhau 1212,.0uuMM→→→ . Ví dụ 5. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng 12, trong mỗi trường hợp sau: a) 12 1122 12 15210 :2,:42 3214 xtxt ytyt ztzt ; b) 12 234212 :,: 321213 xyzxyz ; c) 12 63 312 :,:82 112 1 xt xyz yt zt . Lời giải a) Đường thẳng 1 đi qua điểm 11;2;3M và có 15;1;2u→ là vectơ chỉ phương. Đường thẳng 2 đi qua điểm 22;4;1M và có 210;2;4u→ là vectơ chỉ phương. Ta có: 12210;2;4uu→→ , suy ra 12,uu →→ cùng phương; 121;2;2MM→ và 12 51 nên 112,uMM →→ không cùng phương. Vậy 12// . b) Đường thẳng 1 đi qua điểm 12;3;4M và có 13;2;1u→ là vectơ chỉ phương. Đường thẳng 2 đi qua điểm 22;1;2M và có 22;1;3u→ là vectơ chỉ phương. Ta có: 21 32 , suy ra 12,uu →→ không cùng phương; 12122113324;2;6,,;;7;11;1 133221MMuu →→→
Do 1212,.7.411.21.60uuMM →→→ nên 1212,,uuMM →→→ đồng phẳng. Vậy 1 cắt 2 . c) Đường thẳng 1 đi qua điểm 13;1;2M và có 11;1;2u→ là vectơ chỉ phương. Đường thẳng 2 đi qua điểm 26;8;1M và có 23;2;1u→ là vectở chỉ phương. Ta có: 1212122111(9;7;3),,;;3;7;5 211332MMuu →→→ Do 1212,.3.97.75.370uuMM →→→ nên 1212,,uuMM → →→ không đồng phẳng. Vậy 1 và 2 chéo nhau. III. Góc 1. Góc giữa hai đường thẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 và 2 có vectớ chỉ phương lần lượt là 11112222;;,;;uabcuabc→→ . Khi đó, ta có: 12121212 222222 111222 cos, . aabbcc abcabc Nhận xét: 121212120aabbcc . Ví dụ 6. Tính góc giữa hai đường thẳng 12, biết: 12 112212 143 :23 và :5, là tham sô). 36 xtxt ytyttt zz Lời giải Hai đường thẳng 1 và 2 có vectơ chỉ phương lần lượt là 11;3;0u→ , 23;1;0u→ . Ta có: 12222222 1.33.10.0 233 cos,. 42 130.310 Suy ra 12,30 . Ví dụ 7. Cho hai đường thẳng 12 1123 :,:. 321121 xyzxyz Chứng minh rằng 12 . Lời giải Đường thẳng 1 và 2 có vectơ chỉ phương lần lượt là 123;2;1,1;2;1uu→→ . Ta có: 123.12.21.10.uu→→ . Suy ra 12 . 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng