Tiêu đề 7 Chuyên Đề 7. Đường Tròn Và Góc.docx ✅

Chuyên đề 7 ĐƯỜNG TRÒN VÀ GÓC TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ. Tùy theo vị trí với đường tròn mà một góc có nhiều tên gọi mới: góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây, góc có đỉnh ở trong hay ở ngoài đường tròn. Quan hệ giữa góc với đường tròn giúp chứng minh được nhiều quan hệ giữa hai góc và là công cụ hữu ích trong giải toán. Quan hệ giữa góc và đường tròn còn được thể hiện trong khái niệm cung chứa góc. Sử dụng cung chứa góc, ta chứng minh được nhiều điểm nằm trên một đường tròn, nhờ đó có thể áp dụng nhiều kiến thức đã học về đường tròn vào bài toán. BÀI TOÁN THỰC TẾ NGÔI SAO NĂM CÁNH Ngôi sao năm cánh trên lá quốc kì Việt Nam là một hình rất quen thuộc. Bạn đã bao giờ nghĩ đến góc nhọn x của một cánh sao và góc tù y giữa hai cánh sao (h.77) bằng bao nhiêu độ chưa? Giải (h.78) Vẽ đường tròn đi qua các đỉnh của năm cánh sao, ta có số đo của mỗi cung ,,,,ABBCCDDEEA bằng oo 360:572 . Theo tính chất góc nội tiếp, ta có  oo 72:236 2sdAB x . Theo tính chất góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, ta có oo o72.272 108 22  sdBEsdCD y . I. GÓC TẠO BỞI HAI CÁT TUYẾN (HOẶC TIẾP TUYẾN) CỦA ĐƯỜNG TRÒN Số đo của góc nội tiếp, số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây đều bằng nửa số đo của cung bị chắn. Số đo của góc có đỉnh ớ bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn bởi hai cạnh của góc và tia đối của hai cạnh ấy (trường hợp đặc biệt: số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn). Ví dụ 60. Cho tam giác nhọn ABCABAC , trực tâm H. Gọi I là trung điểm cùa AH, M là trung điểm của BC. Tia phân giác cùa góc BAC cắt IM ờ K. Chứng minh rằng 90.AKH Giải (h.79) Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp ABC . Vẽ bán kính OD đi qua M thì D là điểm chính giữa của cung BC nên ,,AKD thẳng hàng. Để chứng minh bổ đề OMAH . Tứ giác AOMI có //,AIOMAIOM nên là hình bình hành
 11//OAMIAK Kết hợp với  12ADA nên  12KAIKIAIH . Vậy o90AKH . Ví dụ 61. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc A cắt BC ở D và cắt đường tròn (O) ở M (khác A). Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn ;MMB , K là tiếp điểm. Chứng minh rằng DK vuông góc với AM. Giải (h.80)  12AA mà  21AB (góc nội tiếp) nên  11AB .  ∼MBDMAB (g.g) MDMBMDMK MBMAMKMA . Kết hợp với  DMKKMA ta có  DMKKMA (c.g.c)  90MDKMKA . Vậy  DKAM . Ví dụ 62. Tính góc A của tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), biết 90IOK , trong dó I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A. Giải (h.81) Gọi D là giao điểm của đoạn IK và đường tròn (O). IBK vuông tại B có DBDI (dễ chứng minh) nên DIDK và 1 2DBIK . (1) IOK vuông tại O có DIDK nên 1 2ODIK . (2) Từ (1) và (2) suy ra BDODOB . BOD đều 6060BODBAC . Ví dụ 63. Cho tam giác nhọn ABC ABAC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm cùa tam giác ABC, K là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC ở I. Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O). Giải (h.82) Dễ chứng minh H đối xứng với K qua BC, suy ra  212KHH (1) Ta lại có  11KA nên  1K phụ  2H (2) Từ (1) và (2) suy ra  2K phụ  1K . Vậy IK là tiếp tuyến của đường tròn (O). Ví dụ 64. Cho tam giác ABC ABAC nội tiếp đường tròn (O), đường trung tuyến AM. Lấy điểm D trên cung BC không chứa A sao cho BADCAM . Chứng minh rằng ADBCDM .
Giải (h.83)  12BAAMADAC , lại có ABMADC (góc nội tiếp) nên  ABMADC (g.g) BABMMC ADDCCD . Kết hợp với  11AC suy ra  BADMCD (c.g.c) ADBCDM . Ví dụ 65. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là trung điểm của OB. Gọi D, E là các điểm thuộc nửa đường tròn sao cho 90ACDBCE . Biết CDCEa . Tính DE theo a. Giải (h.84) Trên CD lấy K sao cho CKCE thì DKCDCKCDCEa . Kéo dài DC cắt đường tròn (O) ở I. Ta có  23lCCCE đối xứng với I qua AB 1 2EOBsdEID . (1) ECK cân  o 4 12 180 2 C KCDKEOCE  (bù với hai góc trên). (2) Từ (1) và (2) suy ra DKEOCE (g.g) 2DEOEOB DKOCOC . Vậy 22DEDKa . Ví dụ 66. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 1dm , oo 45,15BC . Tính dộ dài ,,ACBCAB và diện tích tam giác ABC . Giải (h.85)   oo459022BAOCACOCdm .  Kẻ OMBC . Ta có  21 ooo 451530CCC o.cos3033 2BCdmMCOC .  Kẻ AHBC . Đặt ,HCxHBy thì 3xy (1) Ta có 222222HCHBHCHAAC nên 222xy (2) Từ (1) và (2) suy ra 2222321xyxyxy (3) Từ (2) và (3) suy ra 22222111xyxyxyxy (4) Từ (1) và (4) suy ra 31 2ydm  . Do đó 622 2ABydm  .
 2113133..3. 2224ABCSBCAHdm  Ví dụ 67. Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi K là trung điểm của OC. Gọi M là giao điểm thứ hai của BK với đường tròn (O), I là giao điểm của MD và AB. Tính diện tích : a) Tam giác MAB; b) Tam giác MIK. Giải (h.86) a)  90, 90AMBBOK nên 1 tan 2 MAOK B MBOB . Từ 2224 2 MAM ABA B M R      dễ dàng tính được 2 244 ,, 555MAB RRR MAMBS . (1) b) MI là đường phân giác của 1 2 IAMA MAB IBMB . Lại có 2IAIBR nên dễ dàng tính được 4 3 R IB . 2 114 ... 22323KIB RRR SIBKO . (2) 22 11144 . 333515MAIMAB RR AIABSS . (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra 2222 44 53155MIKMABKIBMAI RRRR SSSS . Ví dụ 68. Cho đường tròn (O) và hai điểm H, I nằm trong đường tròn, trong đó I là trung điểm cùa OH. Dựng tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) nhận H làm trực tâm và AI là tia phân giác của góc BAC Giải (h.87) Phân tích: Kẻ đường kính AE. Gọi K là giao điểm của AH với đường tròn. Ta có //BCEK nên BECK , suy ra  12AA , do đó  34AA AOH có  34AA nên 1AOIO AHIH . Suy ra AIOH . Cách dựng.  Dựng đường trung trực của OH, cắt đường tròn tại A.  Dựng giao điểm K của AH và đường tròn.  Dựng dây BC là đường trung trực của HK. Ví dụ 69. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm D di chuyển trên cạnh BC. Gọi I và K theo thứ tự là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ADB và ADC. a) Chứng minh rằng tứ giác AIDK là hình vuông. b) Tìm vị trí của điểm D để hình vuông AIDK có diện tích nhỏ nhất. Giải (h.88)