Tiêu đề 2. Chuyên đề. Bất đẳng thức, cực trị đại số.pdf ✅

1 CHUYÊN ĐỀ 2: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM CỰC TRỊ Bài 1. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hà nội năm học 2023-2024) Cho các số thực dương abc , , thỏa mãn a b c abc    3 . Chứng minh rằng 3 . 3 3 3 5          ab bc ca c ab abc a bc abc b ca abc Bài 2. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Quảng Bình năm học 2023-2024) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x y x y     0, 0, 2. . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x y y x     2023 2023 Bài 3. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Bình Phước năm học 2023-2024) Cho các số abc , , 0;1   . Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 16 12 6 3 5 a a b b b c c c a        . Bài 4. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Phú Thọ năm học 2023-2024) Cho các số thực dương a b c , , thỏa mãn ab bc ca    27. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7 6 5 7 6 5 7 6 5 . 3 10 5 3 10 5 3 10 5 a ab b b bc c c ca a P a ab b b bc c c ca a                Bài 5. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Nam Định và Long An năm học 2023-2024) Xét abc , , là các số thực dương thoả mãn abc   1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   2 2 2 2 2 2 14 ab bc ca P a b c a b b c c a         . Bài 6. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Đăk Nông năm học 2023-2024) Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy yz zx  5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:     2 2 2 3 3 2 6 5 6 5 5 x y z P x y z         . Bài 7. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Ninh Bình năm học 2023-2024) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn a b c 2024.    Chứng minh: a b c 1. a 2024a bc b 2024b ca c 2024c ab          Bài 8. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2023-2024) Cho abc , , là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2 a b c abc    3 . Chứng minh rằng abc    3 và 2 2 2 3 . 1 1 1 2 a b c b c a       Bài 9. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hà Giang năm học 2023-2024) Cho a,b là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a b   3 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức    4 4 P a b ab     1 1 4 .
2 Bài 10. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hải Phòng năm học 2023-2024) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn 2 2 2 2 2 2 a b b c c a .      3 2 Chứng minh: 2 2 2 3 2 a b c . b c c a a b       Bài 11. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hòa Bình năm học 2023-2024) Cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn ab bc cd da    1 . Chứng minh rằng 3 3 3 3 1 3 a b c d b c d c d a d a b a b c             Bài 12. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Khánh Hòa năm học 2023-2024) Cho x y, là hai số dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức       2 2 1 1 1 x y xy D x y      . Bài 13.(Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Kiên Giang năm học 2023-2024) a) Cho các số thực dương x, y. Chứng minh rằng 1 1 4 x y x y    . b) Cho các số thực không âm a, b, c thoả mãn abc   1 . Chứng minh rằng b c abc  16 . Bài 14.(Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Bắc Giang năm học 2023-2024) Cho ba số thực dương x y z , , thỏa mãn x y z    3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 15 26 8 15 26 8 15 26 8 x y z P x xy y y yz z z zx x          Bài 15.(Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh TP Hồ Chí Minh năm học 2023-2024) Cho ba số abc , , 0  và ab bc ca    3. a) Chứng minh rằng    4 a a b a c     7 2 b) Tìm giá trị lớn nhất của 4 4 4 7 7 7 bc ca ab Q abc       Bài 16. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hà Nam năm học 2023-2024) Xét abc , , là ba số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 ab b bc c ca a       . Bài 17. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hải Dương năm học 2023-2024) Cho abc , , là các số thực dương thỏa mãn 3 . 2 abc    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức             2 2 2 2 2 2 1 1 1 . 1 1 1 a bc b ca c ab P c ca a ab b bc          Bài 18. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Thái Bình năm học 2023-2024) Cho các số thực dương x y z , , thỏa mãn x y z   1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 x yz y zx z xy Q x y z y z x z x y         
3 Bài 19. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Lạng Sơn năm học 2023-2024) Cho các số thực dương abc , , thỏa mãn abc  1 . Chứng minh các bất đẳng thức sau đây: 1) 2 2 2 ab bc ca a b c      . 2) 4 4 4 2 2 2 3 2 a b b c c a a abc b abc c abc       . Bài 20. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Sơn La năm học 2023-2024) Cho các số dương ab, . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 2 2 8 . 1 1 1 1 4 ab P a b a b          Bài 21. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Buôn Mê Thuật năm học 2023-2024) Cho các số dương x y z , , thỏa mãn xy yz zx xyz  3 . Chứng minh rằng 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 . 2 x y z z x x y y z x y z               Bài 22. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Nghệ An Bảng A năm học 2023-2024) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn 2c 3b abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 7 8 P . b c a a b c a c b Bài 23. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Nghệ An Bảng B năm học 2023-2024) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn c(ab 1) b 2 . Chứng minh rằng 3 5 4 4 3. b c a a c b a b c Bài 24. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Lai Châu năm học 2023-2024) Cho abc , , là ba số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 2 2 a b c ab b bc c ca a . Bài 25. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Lai Châu dự bị năm học 2023-2024) Cho ba số abc , , thỏa mãn điều kiện ab bc ca    2024 . Chứng minh: 2 2 2 2024 2024 2024 2 abc ab ac bc Bài 26. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Tiền Giang năm học 2023-2024) 1. Chứng minh rằng với mọi ab, là số thực dương, ta luôn có:     3 3 3 4 . a b a b    Dấu “=” xảy ra khi nào? 2. Cho hai số thực dương ab, thỏa mãn a b ab   4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   3 3 2 2 2 4 .      a b ab P a b a b ab b Bài 27. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Thanh Hóa năm học 2023-2024)
4 Cho a, b, c là các số thực dương thòa mãn      . a b c a b c b c a Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :                3 3 3 3 3 3 111 111 a b b c c a P a b b c c a Bài 28. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hưng Yên năm học 2023-2024) Cho abc , , là các số thực dương thỏa mãn abc    3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 4( ) 12( ) 2024          ab bc ca A a b c abc . Bài 29. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Đăk Lăk năm học 2023-2024) Cho x y z , , là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 . x y z P x y y z z x x y z          Bài 30. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2023-2024) Cho các số thực không âm abc , , thỏa mãn 2 2 2 abc    4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 a b c P a 3 b 3 c 3       . Bài 31. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2023-2024) Cho các số thực dương a,b,c thóa mãn abc 1  . Chúng minh rằng 1 1 1 3 ab a 2 bc b 2 ca c 2 2          Bài 32. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Tây Ninh năm học 2023-2024) Cho abc , , là các số thực dương sao cho abc  8 . Chứng minh bất đẳng thức 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 8 8 8 16 a b c a b c a b c          . Bài 33. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Gia Lai năm học 2023-2024) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức   2 4 2 4 A x x x x x R x        25 3 3 2 4 9 ; 0 1 . Bài 34. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2023-2024) Cho ba số dương x y z , , thỏa mãn xy yz zx 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 x y z P y z z x x y      