Tiêu đề CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 11 (HSG TOÁN 11) LƯỢNG GIÁC, TỔ HỢP XÁC SUẤT, DÃY SỐ, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM CÓ LỜI GIẢI.pdf ✅

1 CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A. LÝ THUYẾT 1. Giá trị lượng giác của cung α . Trên đường tròn lượng giác (hình 1.1) cho cung AM ↷ có sđ AM = α ↷ : Hình 1.1 Gọi M x y ( ) ; với tung độ của M là y OK = , hoành độ là x OH = thì ta có: sinα = OK cosα = OH ( ) sin tan ; cos 0 cos α α α α = ≠ ( ) cos cot ; sin 0 sinα α α α = ≠ Các giá trị sinα , cosα , tanα , cotα được gọi là các giá trị lượng giác của cung α . Các hệ quả cần nắm vững 1. Các giá trị sinα ; cosα xác định với mọi α ∈R . Và ta có: sin 2 sin , ; ( ) α π α + = ∀ ∈ k k Z cos 2 cos , . ( ) α π α + = ∀ ∈ k k Z 2. − ≤ ≤ 1 sin 1 α ; − ≤ ≤ 1 cos 1 α 3. tanα xác định với mọi ,( ) 2 k k π α π ≠ + ∈Z . 4. cotα xác định với mọi α π ≠ ∈ k k ,( ) Z . Dấu của các giá trị lượng giác của cung α phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung AM = α ↷ trên đường tròn lượng giác (hình 1.2). Hình 1.2 2 Ta có bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác như sau Góc phần tư Giá trị lượng giác I II III IV cosα + - - + sinα + + - - tanα + - + - cotα + - + - Ở hình 1.3 là một cách nhớ khác để xác định dấu của các giá trị lượng giác 2. Công thức lượng giác Công thức cơ bản Cung đối nhau 2 2 sin cos 1 x x + = sin sin ( ) − = − x x 2 2 1 tan 1 cos x x + = cos cos ( ) − = x x 2 2 1 cot 1 sin x x + = tan tan ( ) − = − x x Công thức cộng Cung bù nhau sin sin cos cos sin ( ) x y x y x y ± = ± sin sin x x = − ( ) π cos cos cos sin sin ( ) x y x y x y ± = ∓ cos cos x x = − − ( ) π ( ) tan tan tan 1 tan tan x y x y x y ± ± = ∓ tan tan x x = − ( ) π Công thức đặc biệt sin cos 2 sin 2 cos 4 4 x x x x     π π + = + = −         sin cos 2 sin 2 cos 4 4 x x x x     π π − = − = − +         Góc nhân đôi Góc chia đôi sin 2 2sin cos x x x = ( ) 2 1 sin 1 cos 2 2 x x = − 2 2 2 2 cos 2 2cos 1 1 2sin cos sin x x x x x = − = − = − ( ) 2 1 cos 1 cos 2 2 x x = +

5 STUTY TIP Khái niệm: Hàm số f x( ) xác định trên D gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại một số T 0 ≠ sao cho với mọi x thuộc D ta có ( ) x T D; x T D f (x T) f x  − ∈ + ∈  + =  . Số dương T nhỏ nhất (nếu có) thỏa mãn tính chất trên gọi là chu kì của hàm tuần hoàn. Đồ thị hàm số: Nhận xét:Do hàm số y sinx = là hàm số lẻ trên R và tuần hoàn với chu kì 2π nên khi vẽ đồ thị hàm số y sinx = trên R ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số trên đoạn   0;π   , sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa O, ta được đồ thị hàm số y sinx = trên đoạn −π π;    , cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái và sang phải theo trục hoành ta được các đoạn có độ dài 2 ; 4 ,... π π STUDY TIP Hàm số y sinx = đồng biến trên khoảng ; 2 2   π π −   . Do tính chất tuần hoàn với chu kì 2π , hàm số y sinx = đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 ,k 2 2 π π π π     − + + ∈   Z . Tương tự ta suy ra được hàm số y sinx = nghịch biến trên mỗi khoảng 3 k2 ; k2 ,k . 2 2 π π π π     + + ∈   Z GHI NHỚ Hàm số y sinx : = - Có tập xác định là R . 6 - Có tập giá trị là −1;1   . - Là hàm số lẻ. - Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. - Có đồ thị là một đường hình sin. - Tuần hoàn với chu kì 2π . - Đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 ,k 2 2 π π π π     − + + ∈   Z . - Nghịch biến trên mỗi khoảng 3 k2 ; k2 ,k 2 2 π π π π     + + ∈   Z . b) Hàm số y cosx = Ta thấy cosx sin x 2   π = +     nên bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y sinx = sang trái một đoạn có độ dài 2π , ta được đồ thị hàm số y cosx = . Bảng biến thiên của hàm số y cosx = trên −π π;    . Đồ thị hàm số y cos x = : STUTY TIP Hàm số y cosx = đồng biến trên khoảng ( ) −π ;0 . Do tính chất tuần hoàn với chu kì 2π , hàm số y cosx = đồng biến trên mỗi khoảng ( ) − + ∈ π π π k2 ; k2 ,k Z . Tương tự ta suy ra được hàm số y cosx = nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) k2 ; k2 ,k π π π + ∈Z . GHI NHỚ Hàm số y cosx = : - Có tập xác định là R . - Là hàm số chẵn. -Là một đường hình sin.