Tiêu đề Chương 6_Bài 20_Định lý Viet và ứng dụng_Lời giải.pdf ✅

BÀI 20. ĐỊNH LÍ VI-ET VÀ ỨNG DỤNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. ĐỊNH LÍ VIÈTE Ta có định lí Viète như sau: Nếu 1 2 x x, là hai nghiệm của phương trình 2 ax bx c a + + =  0( 0) thì 1 2 1 2 b x x a c x x a  + = −    =  Ví dụ 1. Không giải phương trình, hãy tính biệt thức  (hoặc  ) để kiểm tra điều kiện có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình bậc hai sau: a) 2 2 11 7 0 x x + + = ; b) 2 4 12 9 0 x x − + = . Lời giải a) Ta có: 2  = −   =  11 4 2 7 65 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x, . Theo định lí Viète, ta có: 1 2 1 2 11 7 ; 2 2 x x x x + = − = b) Ta có: 2  = −  =  6 4 9 0 nên phương trình có hai nghiệm trùng nhau 1 2 x x, . Theo định lí Viète, ta có: 1 2 1 2 12 9 3; . 4 4 x x x x − + = − = = 2. ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ VIÈTE ĐỂ TÍNH NHẨM NGHIỆM Xét phương trình 2 ax bx c a + + =  0( 0). - Nếu abc + + = 0 thì phương trình có một nghiệm là 1 x =1 , còn nghiệm kia là 2 c x a = . - Nếu a b c − + = 0 thì phương trình có một nghiệm là 1 x = −1 , còn nghiệm kia là 2 c x a = − Ví dụ 2. Bằng cách nhẩm nghiệm, hãy giải các phương trình sau: a) 2 x x − + = 6 5 0 ; b) 2 5 14 9 0 x x + + = . Lời giải a) Ta có: abc + + = + − + = 1 ( 6) 5 0 nên phương trình có hai nghiệm: 1 2 x x = = 1, 5 . b) Ta có: a b c − + = − + = 5 14 9 0 nên phương trình có hai nghiệm: 1 2 9 1, 5 x x = − = − . Ví dụ 3. Giải phương trình 2 x x − + = 7 12 0 , biết phương trình có một nghiệm là 1 x = 3. Lời giải Gọi 2 x là nghiệm còn lại của phương trình. Theo định lí Viète, ta có: 1 2 x x =12 .
Do đó, 2 1 12 12 4 3 x x === . Vậy phương trình có hai nghiệm: 1 2 x x = = 3, 4 . 3. TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai: 2 x Sx P − + = 0 Điều kiện để có hai số đó là 2 S P −  4 0 . Ví dụ 4: Tìm hai số biết tởng của chúng bằng 9 , tích của chúng bẳng 20. Lời giải Hai số cẩn tìm là hai nghiệm của phương trình 2 x x − + = 9 20 0 . Ta có: 2  = − −   =  = ( 9) 4 1 20 1; 1. Suy ra phương trình có hai nghiệm: 1 2 9 1 9 1 4; 5 2 2 x x − + − − − − . Vậy hai số cần tìm là 4 và 5 . B. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 6.23. Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau: a) 2 x x − + = 12 8 0 ; b) 2 2 11 5 0 x x + − = ; c) 2 3 10 0 x − = ; d) 2 x x −+=3 0. Lời giải a) 2 x x − + = 12 8 0. Ta có: 2  = − − =   ( 6) 1.8 28 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x, . Theo định lí Viète, ta có: 1 2 1 2 x x x x + = = 12; 8 b) 2 2 11 5 0 x x + − = . Ta có: 2  = −   − =  11 4 2 ( 5) 161 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x, . Theo định lí Viète, ta có: 1 2 1 2 11 5 ; 2 2 x x x x − + = − = c) 2 3 10 0 x − = . Ta có: 2  = − − =   0 3.( 10) 30 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x, . Theo định lí Viète, ta có: 1 2 1 2 0 10 0; 3 3 x x x x − + = − = = d) 2 x x −+=3 0.
Ta có: 2  = − −   = −  ( 1) 4 1 3 11 0 nên phương trình vô nghiệm. 6.24. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a) 2 2 9 7 0 x x − + = ; b) 2 3 11 8 0 x x + + = ; c) 2 7 15 2 0 x x − + = , biết phương trình có một nghiệm 1 x = 2 . Lời giải a) Ta có: a b c 2 ( 9) 7 0 + + = + − + = nên phương trình có hai nghiệm: 1 2 7 1; 2 x x = = . b) Ta có: a b c 3 11 8 0 − + = − + = nên phương trình có hai nghiệm: 1 2 8 1; 3 x x − = − = . c) Gọi 2 x là nghiệm còn lại của phương trình. Theo định lí Viète, ta có: 1 2 2 7 x x = . Do đó 2 1 2 2 1 : : 2 7 7 7 x x = = = . Vậy phương trình có hai nghiệm là 1 x = 2 và 2 1 7 x = . 6.25. Tìm hai số u và v , biết: a) u v uv + = = 20, 99 ; b) u v uv + = = 2, 15. Lời giải a) Vì u v + = 20 , uv = 99 nên u và v là hai nghiệm của phương trình 2 x x − + = 20 99 0 . Ta có 2  = − − =   ( 10) 1.99 1 0 và  = 1. Suy ra phương trình có hai nghiệm 1 2 10 1 10 1 11; 9 1 1 x x + − = = = = . Vậy u v = = 11; 9 hoặc u v = = 9; 11. b) Vì u v uv + = = 2, 15 nên u và v là hai nghiệm của phương trình 2 x x − + = 2 15 0 . Ta có 2  = − − = −   ( 1) 1.15 14 0 nên phương trình trên vô nghiệm. Vậy không có số u và v nào thỏa mãn yêu cầu đề bài. 6.26. Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai 2 ax bx c + + = 0 có hai nghiệm là 1 x và 2 x thì đa thức 2 ax bx c + + phân tích được thành nhân tử như sau: ( )( ) 2 1 2 ax bx c a x x x x + + = − −
Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 2 x x + + 11 18 b) 2 3 5 2 x x + − . Lời giải - Phương trình 2 ax bx c + + = 0 có hai nghiệm là 1 x và 2 x nên theo định lí Viète, ta có: 1 2 1 2 và b c x x x x a a + = − = Suy ra b a x x = − + ( 1 2 ) và 1 2 c ax x = . Do đó: ( ) 2 2 1 2 1 2 ax bx c ax a x x x ax x + + = − + + 2 1 2 1 2 = − − + ax ax x ax x ax x = − − − ax x x ax x x ( 1 2 1 ) ( ) = − − a x x x x ( 1 2 )( ) Vậy nếu phương trình 2 ax bx c + + = 0 có hai nghiệm là 1 x và 2 x thì đa thức 2 ax bx + + c phân tích được thành nhân tử là: ( )( ) 2 1 2 ax bx c a x x x x + + = − − . - Áp dụng: Phân tích các đa thức thành nhân tử: a) 2 x x + + 11 18 Phương trình 2 x x + + = 11 18 0 có 2  = − =  11 4.1.18 49 0 và  = = 49 7 . Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là: 1 2 11 7 11 7 2; 9 2 1 2 1 x x − + − − = = − = = −   Vậy đa thức 2 x x + + 11 18 phân tích được thành nhân tử như sau: 2 x x x x + + = + + 11 18 ( 2)( 9) b) 2 3 5 2 x x + − Phương trình 2 3 5 2 0 x x + − = có 2  = −  − =  5 4.3 ( 2) 49 0 và  = = 49 7 . Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là: 1 2 5 7 1 5 7 ; 2 2 3 3 2 3 x x − + − − = = = = −   Vậy đa thức 2 3 5 2 x x + − phân tích được thành nhân tử như sau: 2 1 3 5 2 3 ( 2) 3 x x x x   + − = − +     6.27. Một bể bơi hình chữ nhật có diện tích 2 500 m và chu vi là 150 m . Tính các kích thước của bể bơi này. Lời giải Gọi hai kích thước của bể bơi hình chữ nhật là 1 2 x ; x ( m). Ta có nửa chu vi và diện tích bể bơi hình chữ nhật lần lượt là 1 2 x x m + ( ) và ( ) 2 1 2 x x m . Theo bài, bể bơi hình chữ nhật có chu vi 74 m nên nửa chu vi bể bơi hình chữ nhật là 74 : 2 37( ) = m , do đó 1 2 x x + = 37 .