Tiêu đề Chương 2. Các bài toán cực trị về tứ giác và đa giác.doc ✅

Chương 2 Các bài toán cực trị về tứ giác và đa giác 2.1. Giản lược kiến thức cơ bản Dấu hiệu nhận biết hình thang cân * Hình thang có hai có kề một đáy bằng nhau là hình thang cân. * Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành * Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành. * Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành. * Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành. * Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành. * Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành. Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật * Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. * Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật. * Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật. * Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. Dấu hiệu nhận biết hình thoi * Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi. * Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi. * Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi. * Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi. Dấu hiệu nhận biết hình vuông * Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông. * Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông. * Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông. * Hình thoi có một góc vuông là hình vuông. * Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông. Diện tích hình bình hành Cho hình bình hành ABCD, khi đó: ..sinSABAD với  là góc nhọn Diện tích tứ giác Cho tứ giác ABCD, khi đó 1 . 2SACBD Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ACBD .
Vì 1 2ABCADCSSSACBHDK 11. 22SACBODOACBD (với O là giao điểm của AC và BD) Ta cũng có 21 8SACBD vì 211. 22SACBDACBD Tổng hai cạnh đối diện của tứ giác Trong một tứ giác ABCD, tổng hai cạnh đối diện nhỏ hơn tổng hai đường chéo. ABCDACBD và ADBCACBD Vì .ABAOOBCDCODO (với O là giao điểm của AC và BD). Suy ra ABCDAOOCOBODACBD Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện của tứ giác Trong một tứ giác ABCD, đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện không lớn hơn nửa tổng hai cạnh đối diện còn lại. 1 2MNADBC Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi BC // AD. Vì nếu O là trung điểm AC, thì . 22 BCAD OMON 1 2MNOMONADBC Dấu “=” xảy ra  M, O, N thẳng hàng  AD // BC. 2.2. Các bài toán vận dụng Bài 1: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a cố định. Điểm M di động trên đường chéo AC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các cạnh AB, BC. Xác định vị trí của điểm M để cho diện tích tam giác DEF có giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo a. Hướng dẫn Đặt ,AExCFyMFCFBEy xya Ta có DEFABCDDAEDCFBEFSSSSS 2 222DEF axayxy Sa 22 2222DEF axyaxy Saxy . Do đó, DEFS nhỏ nhất  xy lớn nhất.
Ta có 2 2 24 xya xy    . 2max 42 aa xyxy Vậy khi M là trung điểm AC thì 222 3 min 288DEF aaa S . Bài 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Hai điểm E, F di động trên các cạnh AB và AD sao cho 2AEEFFAa . Xác định vị trí các điểm E, F sao cho tam giác CEF có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo a . Hướng dẫn a) Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho ..DFBKCDFCBKcgc  90DCFBCKFCK Ta có: 2AEEFFAaADAB mà ADAFFD và ABAEEB .EFFDEBBKEBEK ..CEFCEKccc CEFCEKSS Ta có: 2CEFABCDCDFCBEAEFCEKAEFSSSSSaSS 2 2CEFAEFSaS 2 1 22CEFAEF a SS 2 1 . 24CEF a SAEAF  Bài 3: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Góc 45xCy quay xung quanh điểm C sao cho cạnh Cx cắt cạnh AB tại E, cạnh Cy cắt cạnh AD tại F. a) Xác định vị trí các điểm E, F tương ứng trên các cạnh AB và AD để cho tam giác AEF có diện tích lớn
nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo a. b) Xác định vị trí các điểm E, F tương ứng trên các cạnh AB và AD để cho tam giác CEF có diện tích nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo a. Hướng dẫn a) Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho FDKB . ..CDFCBKcgc CFCK và DCFBCK  9045FCKFCEKCE ..FCEKCEcgc EFEKEBBKEBDF AEAFEFAEEBAFDF 2ABADa Đặt 2222,2AExAFyEFxyxyxya Ta có 1 .. 22AEF xy SAEAF . Do đó AEFS lớn nhất  xy lớn nhất Bài toán đưa về: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức xy trong điều kiện 22 2xyxya không đổi. Ta có 2xyxy và 222xyxy 222.22axyxyxy 222 22 a xyxya  222222322xyaa 2322AEFSa 2max322AEFSaxy Khi 222222 22 a xyaxxxya  Vậy khi 22AEAFa thì diện tích tam giác AEF có diện tích lớn nhất và 2max322AEFSa . b) Ta có 2 1 . 22CEFAEF a SS Do đó, CEFS nhỏ nhất  AEFS lớn nhất. Vậy 2221min.3222122 22CEF a SaaAEAFa Bài 4: Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và B có 2,1,4ABADBC . Điểm M di động trên cạnh AB. Xác định vị trí của điểm M để tam giác CDM có chu vi đạt giá trị bé nhất. Tính giá trị bé nhất đó. Hướng dẫn Gọi E là điểm đối xứng của D qua AB.