Tiêu đề Chương 9_Bài 28_Đường tròn nội tiếp&ngoại tiếp_Lời giải_Toán 9_KNTT.pdf ✅

BÀI 28. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP VÀ ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP CỦA MỘT TAM GIÁC. A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP MỘT TAM GIÁC Khái niệm đường tròn ngoại tiếp tam giác Định nghĩa: Đường tròn ngoại tiếp một tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó. Trong Hình 9.13, đường tròn ( ) O ngoại tiếp tam giác ABC . Ta cunng nói tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ) O , hay ( ) O là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tâm O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC . Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng một nửa cạnh huyền. Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB AC = = 2 cm, 4 cm . Vẽ đường tròn ( ; ) O R ngoại tiếp tam giác ABC và tính bán kính R . Lời giải Lấy O là trung điểm của BC và vẽ đường tròn ( ) O đi qua A . Khi đó, ( ) O là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Theo định lí Pythagore, ta có: 2 2 2 BC AB AC BC = + = + = = 4 16 20 nên 2 5( cm). Vậy đường tròn ( ) O có bán kính 5 cm 2 BC R = = . Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng 3 3 a . Ví dụ 2. Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 3 cm . Vẽ đường tròn ( ; ) O R ngoại tiếp tam giác ABC . Tính bán kính R . Lời giải
Lấy O là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác ABC và vẽ đường tròn ( ) O đi qua A . Đường tròn ( ) O là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính 3 3 cm 3 R BC = = . 2. ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP MỘT TAM GIÁC Đường tròn nội tiếp tam giác Tổng quát, ta có định nghĩa sau: Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác. Tam giác đó được gọi là ngoại tiếp đường tròn. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác của tam giác. Chú ý: Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác nghĩa là tiếp xúc với đường thẳng chứa cạnh đó và có tiếp điểm nằm trên cạnh đó. Đường tròn nội tiếp tam giác đều Đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng 3 6 a . Ví dụ 3. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ()I . Biết rằng ˆ ˆ A B 40 , 60   = = . Tính số đo của các góc BIC CIA , và AIB . Lời giải Vì tổng ba góc của tam giác ABC bằng 180 nên ACB BAC ABC 180 80   = − − = . Vì tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) nên I là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC . Do đó, ta có: 20 2 BAC CAI BAI  = = = ; 30 ; 40 . 2 2 ABC ACB CBI ABI ACI BCI   = = = = = = Vì tổng các góc trong tam giác BIC bằng 180 nên BIC CBI BCI 180 180 30 40 110 .      = − − = − − = Tương tự, CIA ACI CAI 180 120   = − − = và AIB ABI BAI 180 130   = − − = .
B. CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1. XÁC ĐỊNH TÂM VÀ TÍNH BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP, NỘI TIẾP TAM GIÁC 1. Phương pháp • Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm cạnh huyền và bán kính bằng nửa cạnh huyền của tam giác vuông đó. • Trong một tam giác đều, trọng tâm của tam giác đồng thời là tâm của đường tròn ngoại và nội tiếp tam giác đó. • Tam giác đều cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp là 3 3 a R = và bán kính đường tròn nội tiếp là 3 6 a r = . 2. Ví dụ Ví dụ 1. Cho hình vẽ sau : a) Hình nào có đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC ? Giải thích ? b) Hình nào có đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC ? Giải thích ? Lời giải a) Hình a), đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vì nó đi qua ba đỉnh A B C , , của tam giác ABC . b) Hình d), đường tròn (O) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC vì nó tiếp xúc ba cạnh AB BC CA , , của tam giác ABC . Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB cm =10 và AC cm = 21 . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Lời giải Xét ABC vuông tại A , theo pythagore ta có:
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 10 21 121 121 11 BC AB AC BC BC BC cm = + = + =  = = Tam giác ABC vuông tại A nên bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng nữa cạnh huyền BC hay ( ) 11 5,5 2 2 BC R cm = = = Ví dụ 3. Cho ABC vuông tại A , có AB cm = 6 và AC cm = 8 ngoại tiếp đường tròn (I r; ) . Tính r Lời giải Đường tròn (I r; ) tiếp xúc với các cạnh AB AC BC , , theo thứ tự M N P , , Ta có: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 . . 1 ; . . 2 ; . 3 2 2 2 2 2 AIB AIC BIC S IM AB r AB S IN AC r AC S r BC = = = = = Cộng (1 2 3 )( )( ) vế theo vế, ta được: ( ) 1 . 2 AIB AIC BIC ABC S S S r AB AC BC S + + = + + Mà ( ) 1 6.8 2 . 24 2 2 ABC S AB AC cm = = = , ( ) 2 2 BC cm = + = = 6 8 100 10 Nên ta có: ( ) ( ) 1 24 6 8 10 2 2 = + +  = r r cm . Ví dụ 4. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Lời giải Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đều ABC thì O đồng thời cũng là trọng tâm và trực tâm của tam giác. Ta có 2 OA OB OC AH 3 = = = (H là chân đường cao kẻ từ A) (Xem hình vẽ). I M N P C B A