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3.3 Proporciones irracionales. La proporción √2 Imagen 3-20. La Proporción raíz de dos en la Puerta del Vino
Cuando observamos la fachada de un edificio, la forma de una habitación, de una puerta, o de otros objetos cotidianos, siempre tenemos una primera impresión sobre si está bien proporcionada. Las matemáticas permiten estudiar los cánones de belleza mediante la construcción y utilización de las distintas proporciones que se consideran más armoniosas. En un rectángulo, la proporción viene determinada por el cociente entre su lado mayor y su lado menor. Así, un cuadrado será un rectángulo de proporción 1, si unimos por un lado común dos cuadrados obtendremos un rectángulo de proporción 2. En nuestra portada, tomada sobre una foto antigua, podemos ver un cuadrado en la ventana geminada del piso superior, y un gran rectángulo enmarcando el arco completo, desde el suelo hasta el friso de dovelas. Este rectángulo tiene una proporción especial, la proporción √2. El número √2 = 1,4142... es un número irracional, con infinitas cifras decimales no periódicas, y por tanto, muy difícil de manejar numéricamente. Sin embargo es muy fácil de construir geométricamente, con regla y compás, dado que el resultado √2 se obtiene al dividir la diagonal de un cuadrado entre el lado correspondiente. Basta aplicar el conocido Teorema de Pitágoras. El proceso de construcción de un rectángulo √2 con GeoGebra es muy fácil. Se construye un cuadrado sobre un lado, se dibuja la diagonal, se abate sobre uno de los lados y, trazando las paralelas, se obtiene rápidamente el rectángulo √2. En la construcción, todos los elementos dependen del lado menor del rectángulo, de modo que dicho rectángulo podemos moverlo, ampliarlo o reducirlo, manteniendo siempre la misma proporción. Esto podemos utilizarlo para comprobar que el arco de nuestra portada tiene efectivamente la proporción √2. Basta insertar la foto del arco en el programa GeoGebra y Imagen 3-21. Construcción con GeoGebra de la macro raíz de 2
comprobar que se adapta exactamente al rectángulo, tal como se ve en la imagen anteriormente expuesta. Otra forma de comprobarlo fácilmente es simplemente tomando un folio A4, ponerlo en vertical y extender el brazo hasta que se adapte al rectángulo del arco. Esto es posible porque, precisamente, el formato A4 es exactamente un rectángulo de proporción √2. Si doblamos el A4 en diagonal, como para hacer un cuadrado, podemos comprobar fácilmente que la longitud de dicha diagonal (que por el teorema de Pitágoras es igual al lado por √2) coincide exactamente con la del lado mayor del A4. Y ya que estamos con un A4, podemos preguntarnos por qué el A4 tiene esta proporción y no otra. Además de ser un rectángulo derivado del cuadrado y construible con regla y compás fácilmente, el rectángulo √2 tiene una importante propiedad, fácilmente demostrable con papel y lápiz: este rectángulo es el único de todos los posibles del que, al dividirlo en dos partes iguales por el lado mayor, se obtienen dos rectángulos (en este caso dos A5) que tienen también la proporción √2. Igualmente, si unimos dos A4 por el lado mayor, obtenemos otro rectángulo √2, en este caso un A3. De esta forma se fabrica toda la serie DIN, tomando el mayor folio que se fabrica normalmente, el A0, y cortando sucesivamente por la mitad con una guillotina, de modo que se fabrica toda la serie sin desperdiciar ni un milímetro cuadrado de papel. En este caso pues, el motivo de que los folios tengan esa proporción fundamentalmente económico. Imagen 3-22. El A4 es un rectángulo raíz de dos
También nos podríamos preguntar por qué las medidas de un A4 son exactamente 21 x 29,7 cm y no otras. La justificación es también de tipo comercial. Dado que la unidad de medida de superficie básica es el m2 , se trata de ver qué medidas debe tener el A0 para que sea un rectángulo de proporción √2 y que tenga de superficie 1 m2 . Planteando estas condiciones puede demostrarse sin demasiada dificultad que las medidas de un A0 deben ser (redondeamos en la práctica los números irracionales) 841 x 1189 mm. A partir de aquí se obtienen, como hemos dicho los sucesivos formatos: A1 (594 x 841 mm), A2 (420 x 594 mm), A3 (297 x 420 mm) A4 (210 x 297 mm), etc. Y por último, una pregunta. Cuando en la papelería pedimos folios de 80 g, o de 120 g, ¿a qué nos estamos refiriendo? Imagen 3-23. La serie DIN