Tiêu đề LUYỆN TẬP CHUNG_Sau khi học xong bài 29&30_Lời giải.pdf ✅

LUYỆN TẬP CHUNG A. VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng AOB BOC COD 120 , 40 , 80    = = = . Tính số đo các góc của tứ giác ABCD. Lời giải Xét đường tròn (O), ta có: 1 60 2 ADB AOB  = = (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AB ); 1 20 2 BAC BDC BOC  = = = (các góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC ); 1 40 2 CAD COD  = = (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung CD ). Suy ra BAD BAC CAD 60 = + = và ADC ADB BDC 80 = + = . Vì các góc đối nhau của tứ giác nội tiếp ABCD có tổng bằng 180 nên ABC ADC 180 100   = − = và BCD BAD 180 120   = − = . Ví dụ 2. Cho lục giác đều ABCDEF . a) Tính số đo các góc BCF BDF BEF , , . b) Gọi O là tâm của lục giác đều. Hãy chỉ ra ba phép quay tâm O giữ nguyên tam giác ACE . Lời giải a) Lục giác đều ABCDEF có các góc bằng 120 và nội tiếp một đường tròn ( ) O . Khi đó, các tứ giác ABCF ABDF , , ADEF nội tiếp ( ) O . Vì vậy BCF BAF 180 180 120 60     = − = − = . Tương tự, BDF BEF 60 = = . b) Tương tự câu a, các góc của tam giác ACE đều bằng 60 , hay ACE là tam giác đểu và nội tiếp đường tròn ( ) O . Như vậy, ba phép quay tâm O giữ nguyên tam giác ACE là ba phép quay thuận chiều lần lượt 120 ,240 ,360    với tâm O.
Lời giải 9.31. Cho tam giác ABC có các đường cao AD BE CF , , . Chứng minh rằng BCEF CAFD , , ABDE là những tứ giác nội tiếp. Lời giải - Vì BEC vuông tại E (do BE AC ⊥ ) nên tam giác có đường tròn ngoại tiếp đường tròn đường kính BC . Do đó ba điểm B E C , , cùng nằm trên đường tròn đường kính BC . Vì BFC vuông tại F (do CF AB ⊥ ) nên tam giác có đường tròn ngoại tiếp là đường tròn đường kính BC . Do đó ba điểm B F C , , cùng nằm trên đường tròn đường kính BC . Suy ra bốn điểm B C E F , , , cùng nằm trên một đường tròn hay tứ giác BCEF là tứ giasc nội tiếp. Chứng minh tương tự, ta cũng có tứ giác CAFD nội tiếp đường tròn đường kính AC và tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn đường kính AB . Vậy BCEF CAFD ABDE , , là những tứ giác nội tiếp. 9.32. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( ), O AB cắt CD tại E AD , cắt BC tại F như Hình 9.58. Biết BEC 40 = và DFC 20 = , tính số đo các góc của tứ giác ABCD. Lời giải Xét ADE có A ADE E 180 + + = (tổng ba góc của tam giác) Do đó ˆ ADE E A A A 180 180 40 140     = − − = − − = − . Vì ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn (O) nên tổng các góc đối nhau của tứ giác bằng 180 , do đó A BCD 180 + = , suy ra BCD A 180 = − . Xét tứ giác ABCD có: A ABC BCD ADC 360 + + + = (tổng các góc của một tứ giác) Suy ra A A A A (160 180 140 360 ) ( ) ( )     + − + − + − = . Hay 2 120 A  = , nên A 60 = . Do đó ABC A 160 160 60 100     = − = − = ; ADC A 140 140 60 80     = − = − = ; BCD A 180 180 60 120     = − = − = .
Vậy tứ giác ABCD có A ABC BCD ADC 60 ; 100 ; 120 ; 80     = = = = . 9.33. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm . Tính chu vi, diện tích của các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp hình vuông ABCD. Lời giải Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD . Khi đó ta có 1 2 R AC = . Xét ABC vuông tại B (do ABCD là hình vuông), theo định lí Pythagore, ta có: 2 2 2 2 2 AC AB BC = + = + = 4 4 32 Do đó AC cm = = 32 4 2 ( ) . Suy ra 1 1 .4 2 2 2( cm) 2 2 R AC = = = . Chu vi của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là: 2 2 .2 2 4 2( )    R cm = = Diện tích của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là: ( ) ( ) 2 2 2    R = = . 2 2 8 cm Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD . Gọi M N P Q , , , lần lượt là trung điểm của AB BC CD DA , , , . Vì ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC BD , vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường. Xét OAB vuông tại O có OM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên 1 2 OM AB = . Mặt khác, OAB cân tại O (vì OA OB = ) nên đường trung tuyến OM đồng thời là đường cao, do đó OM AB ⊥ tại M . Tương tự, ta có: ON BC ⊥ tại N OP CD , ⊥ tại P OQ AD , ⊥ tại Q và 1 1 1 ON BC,OP CD,OQ DA 2 2 2 = = = . Mà AB BC CD DA = = = (do ABCD là hình vuông) nên OM ON OP OQ = = = . Vậy đường tròn (O OM ; ) là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD. Khi đó ta có ( ) 1 1 .4 2 2 2 r OM AB cm = = = = . Chu vi của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD là: 2 2 .2 4 cm .    r = = ( ) Diện tích của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD là: ( ) 2 2 2    r = = .2 4 cm . 9.34. Biết rằng bốn đỉnh A B C D , , , của một hình vuông cùng nằm trên một đường tròn ( ) O theo thứ tự ngược chiều quay của kim đồng hồ. Phép quay thuận chiều 45 biến các điểm A B C D , , , lần lượt thành các điểm E F G H , , , .
a) Vẽ đa giác EAFBGCHD . b) Đa giác EAFBGCHD có phải là một bát giác đều hay không? Vì sao? Lời giải - Vẽ đường tròn (O) . Trên đường tròn (O) vẽ hình vuông ABCD sao cho các đỉnh A B C D , , , theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ. - Lấy điểm E thuộc đường tròn (O) sao cho tia OA quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OE và AOE 45 = . - Xác định các điểm F G H , , tương tự như cách xác định điểm E ở trên. Nối A với E E, với D D, với H H, với C C, với GG, với B B, với F và F với A . Khi đó ta được đa giác EAFBGCHD . b) Vì ABCD là hình vuông nên đường tròn (O) ngoại tiếp hình vuông có tâm O là giao điểm hai đường chéo. Do đó AC BD ⊥ tại O hay AOD 90 = . Suy ra AOE EOD EOD 90 90 90 45 45      = − + = = = − Xét OAE và OED có: OA OE, = = AOE EOD (cùng bằng 45 ), OE OD = . Do đó  =  OAE OED c g c ( . . ) Tương tự, ta sẽ chứng minh được:  =  =  =  =  =  =  =  OAE OED ODH OHC OCG OGB OBF OFA . Suy ra AE ED DH HC CG GB BF FA = = = = = = = ; 1( ) OAE OED ODH OHC OCG OGB OBF OFA = = = = = = = ; OEA ODE OHD OCH OGC OBG OFB OAF = = = = = = = . Xét OAE có OA OE = nên OAE cân tại O , suy ra ra OAE OEA = . Suy ra OAE OAF OED OEA ODH ODE OHC OHD + = + = + = + = + = + = + = + OCG OCH OGB OGC OBF OBG OFA OFB. Hay EAF AFB FBG BGC GCH CHD HDE DEA = = = = = = = . (2) Từ (1) và (2) suy ra EAFBGCHD có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau. Vậy EAFBGCHD là bát giác đều. 9.35. Cho ngũ giác đều ABCDE nội tiếp đường tròn ( ) O như Hình 9.59.