Tiêu đề Bài 3_Đường tiệm cận của đồ thị hàm số_Đề bài.Image.Marked.pdf ✅

BÀI 3: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐƯỜNG TIỆM NGANG Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: Đường thẳng 0 y  y được gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y  f (x) nếu: 0 lim ( ) x f x y   hoặc 0 lim ( ) x f x y   . Nhận xét: Giả sừ đường thẳng 0 y  y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f (x) . Lấy điểm M (x; y) thuộc đồ thị hàm số. Gọi MH là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 0 y  y . Khi đó, độ dài MH tiến tới 0 khi x   (Hình 11a) hay x   (Hình 11b). Ví dụ 1. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 1 ( ) 2 x y f x x     . II. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: Đường thẳng 0 x  x được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y  f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: 0 0 0 0 lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( ) . x x x x x x x x f x f x f x f x                 Nhận xét: Giả sử đường thẳng 0 x  x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f (x) . Lấy điểm M (x; y) thuộc đồ thị hàm số. Gọi $M H$ là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 0 x  x . Khi đó, độ dài MH tiến tối 0 khi 0 x x   (Hình 13b, d ) hay 0 x x   (Hình 13a, c).
Ví dụ 2. Giải thích vì sao đường thẳng x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 3 2 ( ) 1 x y f x x     ? Ví dụ 3. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 1 ( ) 2 x y f x x     . Chú ý: Đồ thị hàm số 1 ( ) 2 x y f x x     và hai đường tiệm cận được cho ở Hình 14. III. ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: Đường thẳng y  ax  b(a  0) được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y  f (x) nếu: lim[ ( ) ( )] 0 x f x ax b     hoặc lim[ ( ) ( )] 0. x f x ax b     Nhận xét: Giả sử đường thẳng y  ax  b(a  0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y  f (x) . Lấy điểm M thuộc đồ thị hàm số y  f (x) và điểm N thuộc đường thẳng y  ax  b có cùng hoành độ x . Khi đó, độ dài MN tiến tới 0 khi x  ( Hình 16a) hay x   (Hình 16b) .

a) 2 2 2 1 1 x x y x     ; b) 2 2 1 1 x x y x     ; c) 2 2 2 2 2 x y x    . 4. Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau: a) 2 x y x   ; b) 2 2 3 2 1 x x y x    ; c) 2 1 y x 3 x    . 5. Số lượng sản phẩm bán được của một công ty trong x (tháng) được tính theo công thức   9 200 5 2 S x x          , trong đó x 1 (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). a) Xem y  S  x là một hàm số xác định trên nửa khoảng 1; , hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó. b) Nêu nhận xét về số lượng sản phẩm bán được của công ty đó trong x (tháng) khi x đủ lớn. C. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ Phương pháp: Xét hàm phân thức trong đó P x, Q x là hai đa thức của x , ta thường dùng phương pháp sau để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1. Tiệm cận đứng        P x f x Q x Nếu     0 0 0 0        P x Q x thì đường thẳng  0 x x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 2. Tiệm cân ngang ▪ Nếu bậc của P(x) bé hơn bậc của Q x thì đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là trục hoành. ▪ Nếu bậc của P(x) bằng bậc của Q x thì đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng  a y b , trong đó a,b lần lượt là hệ số của số hạng có số mũ lớn nhất của P x, Q x. ▪ Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q x thì đồ thị của hàm số không có tiệm cận ngang. 3. Tiệm cận xiên ▪ Nếu bậc của P(x) bé hơn hay bằng bậc của Q x hoặc bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q x từ hai bậc trở lên thì đồ thị của hàm số không có tiệm cận xiên . ▪ Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q x một bậc và P(x) không chia hết cho Q x thì đồ thị hàm số có tiệm cận xiên và ta tìm tiệm cận xiên bằng cách chia P(x) cho Q x và viết          R x f x ax b Q x trong đó     lim 0   x R x Q x . Suy ra đường thẳng y  ax  b là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. I. Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm các đường tiệm cận của các đồ thị hàm số sau: