Tiêu đề Bài 6_Vec tơ và các phép toán trong không gian_Đề bài_Toán 12_KNTT.doc ✅

- Hai vectơ a→ và b→ được gọi là bằng nhau, kí hiệu ab→→ , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Chú ý. Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian: - Trong không gian, với mỗi điểm O và vectơ a→ cho trước, có duy nhất điểm M sao cho OMa→ → . - Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như ,,AABB→→ gọi là các vectơ-không. - Ta quy ước vectơ-không có độ dài là 0 , cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ. Do đó, các vectơ-không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là 0→ . Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ ABCABC (H2.8). a) Trong ba vectơ ,BCCC→→ và BB→ , vectơ nào bằng vectơ AA→ ? Giải thích vì sao. b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Xác định điểm M sao cho MMAA→→ . 2. TỔNG VÀ HIỊ̂UU CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN a) Tổng của hai vectơ trong không gian Trong không gian, cho hai vectơ a→ và b→ . Lấy một điểm A bất kì và các điểm B , C sao cho ,ABaBCb→→→ → . Khi đó, vectơ AC→ được gọi là tổng của hai vectơ a→ và b→ , kí hiệu là ab→→ . Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ. Nhận xét. Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng vẫn đúng trong không gian: - Nếu ,,ABC là ba điểm bất kì thì ABBCAC→→→ ; - Nếu ABCD là hình bình hành thì ABADAC→→→ .
Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCDABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (2.12)H . Tính độ dài của vectơ BCDD→→ . Chú ý. Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tính chất sau: - Tính chất giao hoán: Nếu a→ và b→ là hai vectơ bất kì thì abba→→→→ . - Tính chất kết hợp: Nếu ,ab→ → và c→ là ba vectơ bất ki thì ()()abcabc→→→→→→ . - Tính chất cộng với vectơ 0→ : Nếu a→ là một vectơ bất kì thì 00aaa→→→→→ . Từ tính chất kết hợp của phép cộng vectơ trong không gian, ta có thể viết tổng của ba vectơ ,ab→ → và c→ là abc→→→ mà không cần sử dụng các dấu ngoặc. Tương tự đối với tổng của nhiều vectơ trong không gian. Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD (H.2.13). Chứng minh rằng ACBDADBC→→→→ . Kết quả sau đây được gọi là quy tắc hình hộp. Cho hình hộp ABCDABCD . Khi đó, ta có ABADAAAC→→→→ . Ví dụ 5. Cho hình hộp (.2.14)ABCDABCDH . Chứng minh rằng BCDCAAAC→→→→ . b) Hiệu của hai vectơ trong không gian Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ a→ được gọi là vectơ đối của vectơ a→ , kí hiệu là a→ . Chú ý - Hai vectơ là đối nhau nếu và chỉ nếu tổng của chúng bằng 0→ . - Vectơ BA→ là một vectơ đối của vectơ AB→ . - Vectơ 0 được coi là vectơ đối của chính nó. Tương tự như hiệu của hai vectơ trong mặt phẳng, ta có định nghĩa về hiệu của hai vecto trong không gian: Vectơ ()ab→→ được gọi là hiệu của hai vectơ a→ và b→ và kí hiệu là ab→→ .
Trong không gian, phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ. Nhận xét. Với ba điểm , , OAB bất kì trong không gian, ta có OBOAAB→→→ . Ví dụ 6. Cho hình chóp   . SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi , MN lần lượt là trung điểm của ,ABCD (H .2 .16). Chứng minh rằng: a) AM→ và CN→ là hai vectơ đối nhau; b) SCAMANSA→→→→ . 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Tương tự như tích của một số với một vectơ trong mặt phẳng, ta có định nghĩa về tích của một số với một vectơ trong không gian: Trong không gian, tích của một số thực 0k với một vectơ 0a→ là một vectơ, kí hiệu là ka→ , được xác định như sau: - Cùng hướng với vectơ a→ nếu 0k ; ngược hướng với vectơ a→ nếu 0k ; - Có độ dài bằng ||||ka→ . Trong không gian, phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một số với một vectơ. Chú ý - Quy ước 0ka→→ nếu 0k hoặc 0a→→ . - Nếu 0ka→→ thì 0k hoặc 0a→→ . - Trong không gian, điều kiện cần và đủ để hai vectơ a a→ và (0)bb→→→ cùng phương là có một số thực k sao cho akb→→ . Ví dụ 7. Cho hình lăng trụ tam giác ABCABC . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, AC, gọi O là giao điểm của AB và AB (H .2 .18). Chứng minh rằng (2)CCOM→→ .