Tiêu đề CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG.doc ✅

CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Dưới đây là các hệ thức về mối liên hệ của các cạnh, các góc, đường chiếu và đường cao trong một tam giác vuông. Cho ABC vuông tại A. Giả sử AH là đường cao của tam giác. Khi đó ta có các hệ thức sau: 2 1). BHBCBA và 2.CHCBCA 222 2 2). 3).. 111 4) HBHCHA AHBCBACA HABACA     5)sin,cos,tan,CABACABA BBBcotB CBBCBACA (tương tự với góc  C )     11 ˆ 6)sincos,sincos,tanB,tancot cotBCCBcotCCB CcotB Trên đây tôi đã nhắc lại một số hệ thức cơ bản nhất về mối liên hệ gữa các cạnh, các góc, đường chiếu và đường cao trong một tam giác vuông. Dưới đây là hệ thống bài tập giúp bạn đọc ghi nhớ và sử dụng thành thạo các công thức này trong các bài toán. Bài 1: Cho ABC vuông tại A đường cao AH . Biết 9,16.BHCH Giải tam giác ABC .  Định hướng lời giải: Ở đây bài toán yêu cầu giải tam giác ABC tức là chúng ta cần tìm độ dài 3 cạnh của tam giác. Điều này hoàn toàn dễ dàng ta chỉ cần sử dụng các hệ thức ở trên thì bài toán sẽ được giải quyết. Dễ thấy 25BCBHCH . Để tính các cạnh AB,AC ta sẽ sử dụng hệ thức 1) ở trên ta được 2.22515BABHBCBA và 2.40020CACHCBCA . Từ đó ta đã tìm được độ dài các cạnh của ABC . Ngoài ra ta hoàn toàn có thể tính được độ dài đường cao, diện tích và chu vi ABC Lời giải Ta có 25BCBHCH Trong tam giác ABC vuông tại A đường cao AH Ta có: 2 2 .22515 .40020 ABBCHBAB CABCCHCA    Nhận xét: Như vậy đối với ABC vuông tại A và có đường cao AH. Ta chỉ cần biết được độ dài 2 trong số các cạnh ,,,,,ABBCCAHAHBHC ta hoàn toàn có thể xác định được tất cả các yếu tố còn lại của ABC . Từ đó ta sẽ có các bài toán sau: Cho ABC vuông tại A đường cao AH 1) Biết 12,15.ACBC Tính độ dài các đoạn ,,,.ABBHCHAH 2) Biết 10,8ACHC . Tính độ dài các đoạn ,,,.ABBCBHAH 3) Biết 15,12ABAH . Tính độ dài các đoạn ,,,ACBCCHBH . 4) Biết 25,12BCAH . Tính độ dài các đoạn ,,,ACABCHBH . Bài 2: Cho ABC vuông tại A đường cao AH. Biết AC12,60C . Giải tam giác ABC và tính độ dài đường cao AH Lời giải Áp dụng hệ thức 5) ta sẽ có:     12 cos24 cos60cos sin .sin12.sin6063 CAAC CBC CBC AB C BC ABBCC    
Lại có .63.12 .2.33 24ABC ABAC AHBCSABACAH BC  Nhận xét: Ở bài toán 1 ta thấy nếu biết được 2 yếu tố về cạnh và đường cao trong ABC vuông thì ta hoàn toàn xác định được các yếu tố còn lại trong tam giác. Đến bài toán 2 này ta thấy rằng nếu trong tam giác ABC vuông mà ta biết được 1 yếu tố về cạnh và một yếu tố về góc thì các yếu tố còn lại cũng hoàn toàn được xác định. Từ đó sẽ dẫn đến các bài toán sau: Cho ABC vuông tại A có đường cao AH 1) Biết 10,30.BCC Tính độ dài các đoạn ,,,,ABACBHCHAH 2) Biết 5,60AHC . Tính độ dài các đoạn ,,,,ABBCCABHCH 3) Biết 8,45CHC . Tính độ dài các đoạn ,,,,ABBCCABHAH 4) Biết AB:AC3:4 và 15BC . Tính độ dài các đoạn ,BHCH Ở 2 bài toán trên ta đều xét tam giác ABC vuông. Bây giờ ta chuyển sang xét các tam giác không vuông. Bài 3: Cho ABC có 3 góc nhọn, đường cao AH a) Chứng minh  .cotcotBCAHBC b) Biết 6,60,45AHBC . Giải tam giác ABC Lời giải a. Ta thấy trên hình có 2 tam giác ABH và ACH đều vuông tại H từ đó ta có thể áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác này + Trong ABH vuông tại H có:  cot.cotBH BBHAHB AH (1) + Trong ACH vuông tại H có:  cot.cotCH CCHAHC AH (2) + Từ (1) và (2), suy ra:  .cotcotBCBHHCAHBC b. Theo phần a) ta có:  .cotcot6cot60cot45233BCAHBC + Trong ABH vuông tại H có:   6 sin43 sin30sin AHAH BAB ABB  + Trong ACH vuông tại H có:   6 sin62 sin45sin AHAH CAC ACC  Bài 4: Cho ABC có  A nhọn. Chứng minh diện tích tam giác ABC là 1 ..sin 2SABACA  Định hướng lời giải: Ta đã biết diện tích tam giác thì bằn g 1 2 cạnh đáy x chiều cao như vậy ở bài toán này ta sẽ phải hạ chiều cao từ 1 đỉnh của tam giác. Quan sát điều cần chứng minh ta thấy sinA nên ta sẽ phải dựng đường cao hạ từ đỉnh B hoặc C của ABC . Từ đó áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta dễ dàng có điều phải chứng minh. Lời giải Hạ ()BHACHAC Trong ABH có sinBHABA Do đó 11 ...sin 22ABCSBHACABACA
 đpcm  Nhận xét: - Rõ ràng ta hoàn toàn có thể mở rộng bài toán này cho hình bình hành ABCD vì thực chất hình bình hành ABCD bằng 2 lần diện tích tam giác ABD do đó ..sin. ABCDSABADA - Bài toán trên là một bài toán khá cơ bản tuy nhiên nó có ứng dụng rất nhiều trong các bài toán khác nhau. Dưới đây là một số bài toán như vậy: 1) (Tính độ dài đường phân giác trong tam giác) Xét ABC nhọn có đường phân giác ADDBC Ta có ABCABDACDSSS Theo bài toán trên ta suy ra:     111 ..sin..sin..sin 22222 2.. ..sin2 ().sin 2 os AA ABACAABADACAD A cABAC ABACA AD ABACA ABAC     ( Ta có công thức  sin2sin. 22osAA Ac Công thức này chứng minh cũng không quá khó khăn, ta sẽ xét ABC cân tại A và kẻ các đường các đường cao ,AHBK sau đó sử dụng hệ thức lượng giác các tam giác vuông. Việc chứng minh cụ thể xin được dành cho bạn đọc). 2) Cho ABC có 90A . Trên cạnh ,ABAC lần lượt lấy các điểm ','.BC Chứng minh rằng 'C' ABC AB S S   . '.' ABAC ABAC Áp dụng bài toán trên ta có:  'C' 1 ..sin .2 1'.' '.'.sin 2 ABC AB ABACA SABAC SABAC ABACA     đpcm Các bài tập dưới đây xin mời các bạn đọc tự chứng minh: 1. Cho ABC nhọn. Kẻ đường thẳng d song song với BC và cắt các cạnh ,ABAC lần lượt tại ,DE . Tìm vị trí của d để diện tích BDE đạt giá trị lớn nhất. 2. Cho tứ giác ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại O. Biết 90AOD . Chứng minh: 1 AC.BD.sin 2ABCDSAOD 3. Cho ABC vuông tại A. Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EFBC a. Chứng minh .cosAFBEC b. Biết 10,60BCC . Tính diện tích tứ giác ABFE c. AF và BE cắt cạnh tại O. Tính sinAOB Bài 5: Cho ABC . Trên cạnh BC lấy hai điểm ,MN sao cho BAMCAN Chứng minh rằng: 2 ..BMBNAB b CNCMAC     .2BMCMAM c CNBNAN (Đề thi chuyên Toán THPT Hùng Vương năm 2000) 2 ..BMCMAM a CNBNAN    
 Định hướng lời giải: Quan sát vào hình vẽ và các tỉ số cần chứng minh ở trên ta sẽ nghĩ ngay đến tỉ lệ diện tích các tam giác có chung đường cao. Ta có ngay ABM ACN SBM CNS    và ACM ABN SCM BNS    . Giả thiết lại cho  BAMCAN nên ta sẽ nghĩ đến công thức diện tích dựa vào góc đã chứng minh ở bài 4. Áp dụng công thức đó ta sẽ có:   1 2 1 2 ABM ACN AB.AM.sinBAM SAB.AM SAC.AN AC.AN.sinCAN    và   1 2 1 2 ACM ABN AC.AM.sinCAM S S AB.AN.sinBAN    Do ACM ABN SAC.AM BAMCANBANCAM SAB.AN    từ đó kết hợp lại ta sẽ giải quyết được phần a) và b). Phần c) yêu cầu chứng minh bất đẳng thức 2BMCMAM CNBNAN mà theo phần a) ta đã biết tích 2 .BMCMAM CNBNAN     một cách tự nhiên ta sẽ nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 tỉ số BM CN và CM BN . Ta có 2 2.22.BMCMBMCMAMAM CNBNCNBNANAN     Từ đó ta có điều cần chứng minh. Lời giải a. Dễ thấy các tam giác ,,,ABMACNABNACM có cùng chiều cao hạ từ đỉnh A do đó ta có: ..ACMABM ACNABN SSBMCM CNBNSS    Áp dụng công thức tính diện tích tam giác 1 ..sin 2XYZSXYXZX ta có     11 22 11 22 ACMABM ACNABN SSBMCM .. CNBNSS AB.AM.sinBAMAC.AM.sinCAM .(*) AC.AN.sinCANAB.AN.sinBAN     Lại có BAMCANBACBAMBACCANBANCAM Do đó từ (*) suy ra 2 .BMCMAM CNBNAN     b. Tương tự phần a) ta có:     2 11 AB..sinAB..sin 22 ... 11 AC..sinAC..sin 22 ABNABM ACNACM AMBAMANBAN SSBMBNAB CNCMSSAC ANCANAMCAM       c. Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có: 2.2BMCMBMCMAM CNBNCNBNAN  Nhận xét: Hai đường thẳng AM, AN ở bài toán trên được gọi là hai đường đẳng giác trong ABC . Hệ thức ở phần b) là một hệ thức khá quan trọng đó là một trong những tính chất của đường đẳng giác trong tam giác. Từ hệ thức này ta có thể giải quyết bài toán khá khó sau đây: Cho ABC có BD là phân giác trong của ABC . Trên đoạn BD lấy 2 điểm M, N sao cho  CAMBAN . Chứng minh ACMBCN + Trong ABD có DAMBAN nên theo phần b) bài toán trên ta sẽ có: