Tiêu đề Bài 6_Vec tơ và các phép toán trong không gian_Lời giải_Toán 12_KNTT.doc ✅

CHƯƠNG II. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. BÀI 6. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN - Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. - Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Chú ý. Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau: - Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được kí hiệu là AB→ . - Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là ,,,,abxy→→→→ - Độ dài của vectơ AB→ được kí hiệu là ||AB→ , độ dài của vectơ a→ được kí hiệu là a→ - Đường thẳng đi qua điểm đầu và điẻ̉m cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó (H.2.4). Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.5). a) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện? b) Trong các vectơ tìm được ở câu a, những vectơ nào có giá nằm trong mặt phẳng ABC ? c) Tính độ dài của các vectơ tìm được ở câu a. Lời giải a) Có ba vectơ là ,ABAC→→ và AD→ .
b) Trong ba vectơ ,ABAC→→ và AD→ chỉ có hai vecto AB→ và AC→ có giá nằm trong mặt phẳng ABC . c) Vì tứ diện ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 1 nên 1ABACAD→→→ Tương tự như trường hợp của vectơ trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau đối với vectơ trong không gian: - Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. - Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. - Hai vectơ a→ và b→ được gọi là bằng nhau, kí hiệu ab→→ , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Chú ý. Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian: - Trong không gian, với mỗi điểm O và vectơ a→ cho trước, có duy nhất điểm M sao cho OMa→ → . - Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như ,,AABB→→ gọi là các vectơ-không. - Ta quy ước vectơ-không có độ dài là 0 , cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ. Do đó, các vectơ-không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là 0→ . Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ ABCABC (H2.8). a) Trong ba vectơ ,BCCC→→ và BB→ , vectơ nào bằng vectơ AA→ ? Giải thích vì sao. b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Xác định điểm M sao cho MMAA→→ . Lời giải a) Hai đường thẳng AA và BC chéo nhau nên hai vectơ AA→ và BC→ không cùng phương. Do đó, hai vectơ AA→ và BC→ không bằng nhau. Tứ giác ACCA là hình bình hành nên //AACC và AACC . Hai vectơ AA→ và CC→ có cùng độ dài và cùng hướng nên hai vectơ đó bằng nhau.
Tương tự, hai vectơ AA→ và BB→ có cùng độ dài và ngược hướng nên hai vectơ AA→ và BB→ không bằng nhau. b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Vì tứ giác BCCB là hình bình hành nên //MMBB và MMBB . Hình lăng trụ ABCABC có //AABB và AABB , suy ra //MMAA và MMAA . Hai vectơ MM→ và AA→ có cùng độ dài và cùng hướng nên MMAA→→ . Vậy trung điểm của cạnh BC là điểm M cần tìm. 2. TỔNG VÀ HIỊ̂UU CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN a) Tổng của hai vectơ trong không gian Trong không gian, cho hai vectơ a→ và b→ . Lấy một điểm A bất kì và các điểm B , C sao cho ,ABaBCb→→→ → . Khi đó, vectơ AC→ được gọi là tổng của hai vectơ a→ và b→ , kí hiệu là ab→→ . Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ. Nhận xét. Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng vẫn đúng trong không gian: - Nếu ,,ABC là ba điểm bất kì thì ABBCAC→→→ ; - Nếu ABCD là hình bình hành thì ABADAC→→→ . Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCDABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (2.12)H . Tính độ dài của vectơ BCDD→→ . Lời giải Tứ giác ABCD là hình vuông nên BCAD→→ . Do đó BCDDADDDAD→→→→→ . Tứ giác ADDA là hình vuông nên 222ADADDD , suy ra 2BCDD→→ . Chú ý. Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tính chất sau:
- Tính chất giao hoán: Nếu a→ và b→ là hai vectơ bất kì thì abba→→→→ . - Tính chất kết hợp: Nếu ,ab→ → và c→ là ba vectơ bất ki thì ()()abcabc→→→→→→ . - Tính chất cộng với vectơ 0→ : Nếu a→ là một vectơ bất kì thì 00aaa→→→→→ . Từ tính chất kết hợp của phép cộng vectơ trong không gian, ta có thể viết tổng của ba vectơ ,ab→ → và c→ là abc→→→ mà không cần sử dụng các dấu ngoặc. Tương tự đối với tổng của nhiều vectơ trong không gian. Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD (H.2.13). Chứng minh rằng ACBDADBC→→→→ . Lời giải Theo quy tắc ba điểm trong không gian, ta có ACADDC→→→ . Từ đó lần lượt áp dụng tính chất của phép cộng vectơ trong không gian, ta được: ()()ACBDADDCBDADDCBD→→→→→→→→ ().ADBDDCADBC→→→→→ Kết quả sau đây được gọi là quy tắc hình hộp. Cho hình hộp ABCDABCD . Khi đó, ta có ABADAAAC→→→→ . Ví dụ 5. Cho hình hộp (.2.14)ABCDABCDH . Chứng minh rằng BCDCAAAC→→→→ . Lời giải Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên BCAD→→ và DCAB→→ . Áp dụng quy tắc hình hộp suy ra BCDCAAADABAAAC→→→→→→→ . b) Hiệu của hai vectơ trong không gian