Tiêu đề Chuyên đề 8. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.doc ✅

Chuyên đề 8. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN A. Kiến thức cần nhớ  Bảng tóm tắt Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Hệ thức giữa d và R Đường thẳng và đường tròn cắt nhau Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc Đường thẳng và đường tròn không giao nhau Đường thẳng và đường tròn tiếp xúcĐường thẳng và đường tròn không giao nhau d < R d = R d > R  Tính chất của tiếp tuyến Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.  Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.  Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:  Điểm đó cách đều hai tiếp điểm;  Tia kẻ từ điểm đó qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến;  Tia kẻ từ tâm qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.  Đường tròn nội tiếp tam giác Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn (h.8.3)
 Đường tròn bàng tiếp tam giác Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác (h.8.4). B. Một số ví dụ Ví dụ 1.Cho hình vuông ABCD cạnh dài 4cm. Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho AE = 3cm. Vẽ đường tròn (O) đường kính BE. Chứng minh rằng đường tròn (O) tiếp xúc với CD. Giải  Tìm hướng giải Để chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn ta phải chứng minh CD đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó. Muốn vậy ta vẽ OHCD rồi chứng minh HO .  Trình bày lời giải Xét ABE vuông tại A, có: 22222 4325BEABAE . Suy ra BE = 5cm. Bán kính của đường tròn (O) là 5 : 2 = 2,5(cm). Vẽ OHCD . Xét hình thang EBCD có OH là đường trung bình nên
142,5 22 DEBC OHcm  Suy ra H đường tròn (O). Do đó đường tròn (O) tiếp xúc với CD. Ví dụ 2.Cho đường tròn (O) và một đường thẳng xy. Hãy dựng tiếp tuyến của đường tròn song song với xy. Giải a) Phân tích: Giả sử đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O) tại A và a // xy. Đường thẳng OA cắt xy tại H. Ta có OAa nên OAxy . b) Cách dựng  Dựng OHxyHxy cắt đường tròn (O) tại A.  Qua A dựng đường thẳng aOA . Đường thẳng a là tiếp tuyến cần dựng, c) Chứng minh Ta có OAa nên a là tiếp tuyến của đường tròn (O). Mặt khác OHxy nên a // xy. d) Biện luận  Nếu xy không là tiếp tuyến của đường tròn (O) thì bài toán có hai nghiệm hình.  Nếu xy là tiếp tuyến của đường tròn (O) thì bài toán có một nghiệm hình. Ví dụ 3.Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Vẽ các tia tiếp tuyến Ax, By thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB. Từ một điểm C trên nửa đường tròn vẽ một tiếp tuyến cắt Ax, By lần lượt tại D và E. a) Chứng minh rằng tích AD.BE không đổi; b) Tính diện tích nhỏ nhất của tứ giác ABED. Giải a) Nối OC, OD, OE. Ta có: ;;;ADCDBECEAODCODCOEBOE
Suy ra ODOE . Ta có ..ADBECDCE (1) Xét DOE vuông tại O có OCDE (tính chất của tiếp tuyến). Suy ra 2.OCCDCE . (2) Từ (1) và (2) ta được 22.ADBEOCR (không đổi). b) Ta có ;ADABBEAB (tính chất của tiếp tuyến). Do đó tứ giác ABED là hình thang vuông. Gọi M là trung điểm của DE thì OM là đường trung bình của hình thang này, 2 ADBE OM  Diện tích của hình thang này là . .2 2 ADBEAB SOMR  Do OMOC nên 2.2.22SOCRRRR . (dấu “=” xảy ra MCOCAB ). Vậy minS = 2R 2 khi OCAB . Nhận xét. Việc nối OC, OD, OE là để vận dụng tính chất của tiếp tuyến, tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau. Như vậy nếu đề bài có cho tiếp tuyến thì nên vẽ bán kính đi qua tiếp điểm. Ví dụ 4.Cho tam giác ABC cân tại A, BC = 2a. Vẽ đường tròn có tâm O trên BC và tiếp xúc với hai cạnh bên. Một tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Tính tích BM.CN. Giải