Tiêu đề Chương 3_Bài 3_Hàm số liên tục_CTST_Lời giải.pdf ✅

BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Hàm số liên tục tại một điểm Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng K và 0 x  K . Hàm số y  f  x được gọi là liên tục tại điểm 0 x nếu     0 0 lim . x x f x f x   Nhận xét: Để hàm số y  f  x liên tục tại 0 x thì phải có cả ba điều kiện sau: 1. Hàm số xác định tại 0 x ; 2. Tồn tại   0 limx x f x  ; 3.     0 0 lim . x x f x f x   Chú ý: Khi hàm số y  f  x không liên tục tại điểm 0 x thì ta nói f  x gián đoạn tại điểm 0 x và 0 x được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f  x. 2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn  Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng a;b. Hàm số y  f  x được gọi là liên tục trên khoảng a;b nếu f  xliên tục tại mọi điểm trong khoảng ấy. Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng a;b. Hàm số y  f  x được gọi là liên tục trên đoạn a;b nếu f  xliên tục trên khoảng a;b và lim    , lim    . x a x b f x f a f x f b       Nhận xét: Đồ thị của hàm số y  f  x liên tục trên đoạn a;blà một đường liền, có điểm đầu, điểm cuối (Hình 3). Nếu hai điểm này nằm về hai phía so với trục hoành thì đường liền nói trên luôn cắt trục hoành tại ít nhất một điểm. Điều này còn được phát biểu dưới dạng sau: Nếu hàm số y  f  x liên tục trên đoạn a;b và f a. f b  0 thì luôn tồn tại ít nhất một điểm ca;b sao cho f c  0 . 3. Tính liên tục của hàm sơ cấp  Hàm số đa thức y  P x , các hàm lượng giác y  sin x, y  cos x liên tục trên  .
 Hàm số phân thức     P x y Q x  , hàm số căn thức y  P x , các hàm số lượng giác y  tan x , y = cot x liên tục trên các khoảng của tập xác định của chúng. Trong đó P x và Q xlà các đa thức. Nhận xét: Hàm số thuộc những loại trên được gọi chung là hàm số sơ cấp. 4. Tổng, hiệu, tích thương của hàm số liên tục Cho hai hàm số y  f  x và y= g  xliên tục tại điểm 0 x . Khi đó:  Các hàm số y  f  x  g  x, y = f  x - g  x và y = f  x.g  xliên tục tại 0 x .  Hàm số     f x y g x  liên tục tại 0 x nếu g  x0   0 . B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 1. Xét tính liên tục của hàm sô: a)   2 1 khi 0 1 khi 0 x x f x x x         tại điểm x  0 ; b)   2 2 khi 1 khi 1 x x f x x x        tạ điểm x 1. Lời giải a)     0 0 lim lim 1 1 0 1 x x f x x          ;     2 2 0 0 lim lim 1 0 1 1 x x f x x          Suy ra:     0 lim 0 x f x f   Vậy hàm số y  f  x liên tục tại x  0 . b)   1 1 lim lim 1 x x f x x       ;     2 2 1 1 lim lim 2 1 2 3 x x f x x          Suy ra không tồn tại   1 limx f x  Vậy hàm số y  f  x không liên tục tại x 1. Bài 2. Cho hàm số   2 4 khi 2 2 khi 2 x x f x x a x             Tìm a để hàm số y  f  x liên tục trên  . Lời giải Ta có:          2 2 2 2 2 4 2 2 lim lim lim lim 2 2 2 4; 2 x x 2 x 2 x x x x f x x f a   x  x                  Để hàm số f x liên tục trên  thì hàm số f x phải liên tục tại 0 x  2 hay     2 lim 2 x f x f    . Suy ra: a  4 .
Bài 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau: a)   2 4 x f x x   ; b)   2 g x  9  x ; c) h x  cosx  tanx . Lời giải   2 ) 4 x a f x x   là hàm số phân thức có tập xác định là ;2 và 2;  Nên hàm số f x liên tục trên các khoảng ;2 và 2; . b)   2 g x  9  x là hàm số căn thức có tập xác định là 3;3 nên hàm số gx liên tục trên đoạn 3;3 . c) h x  cosx  tanx là hàm số lượng giác có tập xác định là 2 k            Nên hàm số h x liên tục trên các khoảng 2 k            . Bài 4. Cho hàm số f  x  2x  sinx, g  x  x 1 . Xét tính liên tục hàm số y  f  x g  x và     f x y g x  . Lời giải Hàm số f  x  2x  sinx liên tục với mọi x . Hàm số g  x  x 1 liên tục trên khoảng 1; . Suy ra: hàm số y  f  x.g  x liên tục trên khoảng 1;  g  x  0 khi x  1. Suy ra hàm số     f x y g x  liên tục trên khoảng 1; . Bài 5. Một bãi đậu xe ô tô đưa ra giá C x (đồng) khi thời gian đậu xe là x (giờ) như sau:   60000 khi0 2 100000 khi2 4 200000 khi4 24. x C x x x             Xét tính liên tục của hàm số C x. Lời giải Cx  60000 khi x0;2 nên hàm số Cx liên tục trên (0;2). Cx 100000 khi x2;4 nên hàm số Cx liên tục trên (2;4). Cx  200000 khi x4;24 n hàm số Cx liên tục trên (4;24). Ta có: Vậy không tồn tại 2 limx hay hàm số Cx không liên tục tại 2.
    4 4 lim 100000 lim 200000 x x C x C x       Vậy không tồn tại 4 limx hay hàm số Cx không liên tục tại 4. Bài 6. Lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm của nó là   3 2 khi0 khi , GMr r R R F r GM r R r          trong đó M là khối lượng, R là bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Hàm số F r có liên tục trên 0;  không? Lời giải     3 3 2 2 2 lim lim , lim lim r R r R r R r R GMr GMR GM GM GM F r F r R R R r R              Suy ra: limrR F r  F R . Hay hàm số Fr liên tục tại 0r  R .   3 GMr F r R  khi 0  r  R nên hàm Fr liên tục trên 0;R .   3 GM F r r  khi r  R nên hàm Fr liên tục trên R; . Vậy hàm số F r liên tục trên 0; . C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm 1. Phương pháp Ta cần phải nắm vững định nghĩa: Cho hàm số y  fx xác định trên khoảng K và 0 x K. Hàm số y  fx gọi là liên tục tại 0 x nếu 0 0 x x0 x x x x o o lim f(x) f(x ) lim f(x) lim f(x) f(x ).          2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho   x 2 2 x f x x     với x  0. Phải bổ sung thêm giá trị f0 bằng bao nhiêu thì hàm số liên tục tại x  0? Lời giải       x 0 x 0 x 0 x 0 x 2 2 x x 2 2 x lim f x lim lim x x 2 2 x 2 1 lim . x 2 2 x 2                     Như vậy để hàm số liên tục tại x  0 thì phải bổ sung thêm giá trị   1 f 0 . 2 