Tiêu đề Bài 5 Bất đẳng thức và tính chất.pdf ✅

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9 Trang: 1. Bài 5. BẤT ĐẨNG THỨC VÀ TÍNH CHẤT A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Bất đẳng thức  Nhắc lại thứ tự trên tập số thực Trên tập số thực, với hai số a và b có ba trường hợp sau: a) Số a bằng số b , kí hiệu a b  ; b) Số a lớn hơn số b , kí hiệu a b  ; c) Số a nhỏ hơn số b , kí hiệu a b  .  Số a lớn hơn hoặc bằng số b , tức là a b  hoặc a b  , kí hiệu a b  .  Số a nhỏ hơn hoặc bằng số b , tức là a b  hoặc a b  , kí hiệu a b  .  Khái niệm bất đẳng thức Ta gọi hệ thức dạng a b  (hay a b a b a b  , , ) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức. Chú ý: Hai bất dảng thức 1 2  và    3 2 (hay 6 3  và 8 5  ) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều. Hai bất đẳng thức 1 2  và    2 3 (hay 6 3  và 5 8  ) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.  Tính chất bắc cầu: Nếu a b  và b c  thì a c  . Chú ý: Tương tự, các thứ tự lớn hơn (  ), lớn hơn hoặc bằng (  ), nhỏ hơn hoặc bằng (  ) cũng có tính chất bắc cầu. 2. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. Với ba số abc , , , ta có:  Nếu a b  thì a c b c    ;  Nếu a b  thì a c b c    ;  Nếu a b  thì a c b c    ;  Nếu a b  thì a c b c    . 3. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân  Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã chọ. Với ba số abc , , và c  0 , ta có:  Nếu a b  thì ac bc  ;  Nếu a b  thì ac bc  ;  Nếu a b  thì ac bc  ;  Nếu a b  thì ac bc  .  Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.
PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9 Trang: 2. Với ba số abc , , và c  0 , ta có:  Nếu a b  thì ac bc  ;  Nếu a b  thì ac bc  ;  Nếu a b  thì ac bc  ;  Nếu a b  thì ac bc  . B. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TẬP I. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng Bài toán 1. a) Nếu x y  . Chứng minh rằng x y y   2 . b) Cho a b  . Chứng minh rằng 2 2 a b a b    . Huớng dẫn: Áp dụng tính chất a b a c b c      . Lời giải a) Ta có: x y x y y y      hay x y y   2 b) Ta có: a b a a b a      2    a b a 2      a b b a b Hay 2 2 a b b a    (đpcm). Bài toán 2. Với m bất kì, chứng tỏ: a) 1 2    m m ; b) m m  1 ; c)   2 m m m    2 ( 1) . Huớng dẫn: Ta có thể dùng phép biến đổi tương đương và áp dụng tính chất ở phần A . Lời giải a) Ta luôn có: 1 2 1 2      m m (đpcm). b) Ta có:        1 0 1 0 m m hay m m  1 (đpcm). c) Ta có   2 m m m    2 ( 1) 2 2 2 2 1      m m m m 0 1 (luôn   đúng) Bạn có thế viết: Ta có: 2 2 0 1 2 0 2 1        m m m m
PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9 Trang: 3.   2     m m m 2 ( 1) (đpcm). Bài toán 3. a) Chứng minh rằng: 2 ( 1) 4 x x   ; b) Chứng minh rằng:   2 2 x y x y     2 2 ; c) Chứng minh rằng:   2 2 2 ( ) 2 x y x y    . Huớng dẫn: Áp dụng tính chất A và biến đổi tương đương. Lời giải a) Ta có: 2 ( 1) 4 x x   2     x x x 2 1 4    2         x x x x x 2 1 4 4 4 2     x x2 1 0 2    ( 1) 0 x (luôn đúng với mọi x ) Nhận xét: Phép biến đổi trên, ta có thể thấy đó là việc "chuyển vế một số hạng thì đổi dấu". b) Ta có:   2 2 x y x y     2 2 2 2 2 2 2      x y x y     2 2 2 1 2 1 0        x x y y 2 2      ( 1) ( 1) 0 x y (luôn đúng với mọi x y,  ) c) Ta có:   2 2 2 ( ) 2 x y x y    2 2 2 2 2 2 2      x xy y x y 2 2 2 2 0 2 2 2       x y x xy y 2 2 0 2     x xy y 2    0 ( ) x y (luôn đúng với mọi x y,  ) Bài toán 4. a) Chứng minh rằng nếu x y   4 1 thì   2 2 5 4 1 x y   . b) Chứng minh rằng nếu x y  1 thì   2 2 2 1 x y   . Huớng dẫn: a) Ta có x y x y      4 1 1 4 . Thay x vào bất đẳng thức cần chứng minh và biến đổi tương đương.
PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9 Trang: 4. Lời giải a) Ta có: x y x y      4 1 1 4 Thay x vào bất đẳng thức   2 2 5 4 1 x y   ta có: 2 2 5 (1 4 ) 4 1      y y     2 2      5 1 8 16 4 1 y y y   2     5 20 8 1 1 y y 2     100 40 5 1 y y 2      100 40 5 1 0 y y 2     100 40 4 0 y y 2 (10 2) 0 (luôn    y đúng). b) Ta có: x y y x      1 1 Thay y vào bất đẳng thức   2 2 2 1 x y   ta được: 2 2 2 (1 ) 1   x x        2 2      2 1 2 1 x x x 2 2      2 2 4 2 1 x x x 2       4 4 2 1 1 1 x x 2 (2 1) 0 (luôn    x đúng). Bài toán 5. a) Chứng minh rằng:   2 2 2 ( ) 2 x y x y    . b) Cho 2 2 x y  1 , chứng tỏ 2 ( ) 2 x y   . Hướng dẫn: a) Biến đổi tương đương. b) Áp dụng bất đẳng thức ở câu a). Lời giải a) Ta có:   2 2 2 ( ) 2 x y x y    2 2 2 2 2 2 2      x xy y x y 2 2 2 2 0 2 2 2       x y x xy y 2 2 0 2     x xy y 2 0 ( ) (luôn   x y đúng). b) Thay 2 2 x y  1 vào bất đẳng thức ở câu a , ta được: 2 2 ( ) 2.1 ( ) 2 x y x y      .