Tiêu đề 031_Tuyển sinh 10_Toán Chuyên_mới_tỉnh_Thừa Thiên Huế_25-26.pdf ✅

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HUẾ ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2025-2026 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức 1 1 3 x x 1 ( ) P x 1 x x 1 x x x 1 − = − + + − + + + + với x 0  . b) Cho hai số thực dương x, y phân biệt thoả mãn 3 3 x x y xy y y x xy 1 + = = + + . Tính giá trị của 3 3 x y + . Câu 2 (1,0 điểm) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số và các chữ số đều khác 0. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp A. a) Tính xác suất của biển cố “Chọn được số chia hết cho 4”. b) Tính xác suất của biển cố “Chọn được số ab sao cho tổng ab ba + là số chính phương”. Câu 3 (2,0 điểm) a) Tìm các cặp số nguyên không âm (a; b) thoả mãn 2 2 (ab 5) a b(a b) − − = + b) Tìm các bộ số nguyên dương (x;y;p) với p nguyên tố, thoả mãn ( )( ) 3 2 y x x 3 x x 1 p + + − + = Câu 4 (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = xy + yz + zx. a) Chứng minh x y z 3 + +  b) Chứng minh 2 2 2 2 2 2 111 1 x y z y z x z x y + +  + + + + + + . Câu 5 (1,0 điểm) Cho bảng vuông kích thước 8x8 gồm 64 ô vuông, có 8 hàng và 8 cột. Ta điền vào tất cả các ô vuông của bảng, mỗi ô vuông điền đúng một số nguyên dương thuộc tập S = {1;2;3;...;64} (hai ô vuông khác nhau điền hai số khác nhau). a) Ta gọi một thanh dọc là hình gồm 7 ô vuông liên tiếp thuộc cùng một cột. Xét
một cách điền sao cho mọi thanh dọc đều chứa tối đa 3 số chẵn. Chứng minh mỗi cột chứa ít nhất 4 số lẻ. b) Với cách điền như câu a), chứng minh tồn tại ít nhất hai hàng chứa toàn số chẵn. c) Một cặp số gọi là “không thân thiện nhau” nếu chúng nằm ở hai ô vuông kề nhau (là hai ô vuông có chung cạnh) và hiệu của chúng (số lớn trừ số bé) lớn hơn 4. Chứng minh với mọi cách điền số, có thể tìm được một cặp số “không thân thiện nhau”. Câu 6 (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, có AC >AB. Tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại D, M là trung điểm BC. Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác ADM cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E và F (E, F  A). Gọi N là trung điểm EF và J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN. a) Chứng minh các đẳng thức BE.BA = BD.BM; CF.CA = CM.CD và BE = CF. b) Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua N, chứng minh B’C // AD và ba điểm M, A, J thẳng hàng. c) Đường thẳng MN cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai P, đường thẳng DP cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt tại K và L. Chứng minh P là trung điểm KL. ĐÁP ÁN Câu 1. 1. Điều kiện xác định x > 0. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 3 x x 1 1 1 P x 1 x x 1 x x x 1 P x 1 x x 1 x 3 x 1 P 5 x 3 − = − + + − + + + + = − + − + − + − = − Vậy P 5 x 3 = − với x > 0. 2. Ta có 3 3 x x y y y x + = + suy ra ( ) ( ) 3 3 x y x y x y + = + hay ( ) 2 2 x y (xy 1) 0 − − = Do x, y là các số thực dương nên x + y > 0, ta có các khả năng sau + Nếu x = y thì 2 2 xy x 1 xy 1 x 1 =  − − , vô lý

2 2 2 2 2 4a b 36ab 100 4(a b) (2ab 9) 19 (2a 2b) (2a 2b 2ab 9)(2a 2b 2ab 9) 0 − + = + − + = + + − + + + − = Ta xét các trường hợp sau Trường hợp 1. 2a 2b 2ab 9 19 2a 2b 2ab 9 1  + + − =   + − + = thì a + b = 5, ab = 9 là dễ thấy không tồn tại a, b thỏa mãn. Trường hợp 2 . 2a 2b 2ab 9 1 2a 2b 2ab 9 19  + + − =   + − + = thì a + b = 5, ab = 0 Trường hợp 3. 2a 2b 2ab 9 1 2a 2b 2ab 9 19  + + − = −   + − + = − thì a + b = -5 (loại) Trường hợp 4. 2a 2b 2ab 9 19 2a 2b 2ab 9 1  + + − = −   + − + = − thì a + b = -5 (loại) Vậy phương trình trên có hai cặp nghiệm thoả mãn là (0,5), (5,0). 2. Giả sử tồn tại bộ số (x, y, p) thoả mãn yêu cầu bài toán, trong đó p nguyên tố. Do tích của 3 2 x x 3,x x 1 − + − + đều là luỹ thừa của số nguyên tố p. Suy ra 3 a 2 b x x 3 p x x 1 p  − + =   − + = Ta thấy 3 2 x x 3 x x 1 − +  − + nên a > b > 0 và a, b là số tự nhiên. Do đó 2 3 2 (x x 1) (x x 3) (x 1)(x x 1) x 2 − + + − = + − + − + hay 2 (x x 1)(x 2) − + − Nên ta có 2 2 (x x 1) x 2 x 2x 1 0 x 1,2 − +  +  − −   = Nếu x = 1 thì a b p 5,p 1 = = hay a = 1, b = 0, p = 5 suy ra x = 1, y = 1, p = 5 Nếu x = 2 thì a b p 13,p 3 = = suy ra không tồn tại p thoã mãn. Thử lại (1, 1, 5) là bộ thoả mãn yêu cầu bài toán. Vậy (1, 1, 5) là bộ số nguyên dương cần tìm. Câu 4. 1. Ta có 2 2 2 2 (x y z) x y z 2(xy yz zx) + + = + + + + +