Tiêu đề Chuyên đề 3 - Định lý Bézout – Lược đồ Horner.pdf ✅

3. Chuyên đề 3: Định lý Bézout – Lược đồ Horner: 3.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 3.1.1 Định lí Bézout a. Định lí: Số dư trong phép chia đa thức f x( ) cho nhị thức x – a bằng giá trị của đa thức f x( ) tại x a  . Chứng minh: Gọi thương của phép chia f x( ) cho x – a là Q x( ). Đa thức chia bậc một nên dư là một hằng số r. Ta có f x x a Q x r ( ) ( ) ( )    với mọi x. f a a a Q a r r r ( ) ( ) ( ) 0       . Vậy f a r ( )  (đpcm) Chú ý. Từ định lý Bézout ta suy ra hệ quả sau. b. Hệ quả. Đa thức f x( ) chia hết cho x – a khi và chỉ khi f a( ) 0  (hay a là nghiệm của đa thức f x( ) ). c. Ứng dụng của định lí Bézout: - Định lý Bézout giúp chúng ta tính số dư của phép chia đa thức f x( ) cho x – a mà không cần thực hiên phép chia đa thức. - Hệ quả của định lí Bézout giúp chúng ta phân tích đa thức bậc cao (bậc  2 ) thành nhân tử: Nếu f a( ) 0  thì f x( ) phải chứa nhân tử (x – a). 3.1.2 Lược đồ Horner Ngoài các phương pháp đặt tính chia đa thức, hệ số bất định, trị số riêng ta còn có thể tìm được kết quả khi chia đa thức f x( ) cho nhị thức x – a; đồng thời cũng tính được giá trị của đa thức f x( ) tại x = a bằng lược đồ Horner (hay thuật toán Horner) như sau: Nếu đa thức bị chia là 1 1 1 0 ( ) ... n n P x a x a x a x a n n n        , đa thức chia là x – a, đa thức thương là: 1 2 1 1 2 1 0 ( ) ... n n Q x b x b x b x b n n n           thì giữa các hệ số 1 1 0 ; ;...; ; n n a a a a  với 1 2 1 0 ; ;...; ; n n b b b b   và hằng số a có mối quan hệ sau: 1 2 1 1 3 2 2 1 2 2 0 1 1 . . ......................... . . n n n n n n n n b a b a a b b a a b b a a b b a a b                 0 0 r a a b   . (r là số dư) Để cho tiện ta thường lập bảng các hệ số: n a n 1 a  n 2 a  ... 1 a 0 a a n n 1 b a   n n n 2 1 1 b a ab      n n n 3 2 1 b b ab      ... 0 1 1 b a ab   0 0 r a ab   3.2 VÍ DỤ MINH HỌA Áp dụng hệ quả định lí Bézout phân tich các đa thức (thường có các hệ số nguyên và nghiệm nguyên) thành nhân tử, ta thường làm như sau:
Bước 1: Chọn một giá trị x = a nào đó (thường là ước của hạng tử tự do trong đa thức cần phân tích) tìm f a( ). Bước 2: Nếu f a( ) 0  thì f x f x a g x ( ) ( ). ( )   . Để tìm g(x) ta dùng phép chia đa thức f x( ) cho x – a, hoặc dùng lược đồ Horner, hoặc tách thêm bớt các hạng tử một cách hợp lí sao cho xuất hiện nhân tử chung x – a. Bước 3: Tiếp tục phần tích g x( ) thành nhân tử nếu còn phân tích được. Ví dụ 1.Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3 2 2 7 10. x x x    Nhận xét: Thay x bằng các giá trị là ước của 10 (± 1; ± 2; ± 5; ± 10) ta thấy với x = – 1 thì f ( 1) 2 7 1 10 0        . Vậy f x x g x ( ) ( 1). ( )   . Ta tìm g x( ) : Cách 1: Tách thêm bớt các hạn tử: 3 2 3 2 2 f x x x x x x x x x ( ) 2 7 10 2 2 9 9 10 10           . 2       2 ( 1) 9 ( 1) 10( 1) x x x x x 2     ( 1)(2 9 10). x x x Phân tích tiếp 2 2 2 9 10 2 4 5 10 2 ( 2) 5 ( 2) ( 2)( 5). x x x x x x x x x x x              Vậy f x x x x ( ) ( 1)( 2)(2 5).     Cách 2: Dùng đặc tính chia đa thức: 2x3 – 7x2 + x + 10 x + 2 2x3 + 2x2 2x2 – 9x +10 – 9x2 + x + 10 – 9x2 – 9x 10x + 10 10x + 10 0 Nhận xét với x  2 thì g(2) 0  rồi chia tiếp 2 g x x x ( ) 2 9 10    cho x  2. 2x2 – 9x + 10 x – 2 2x2 – 4x 2x – 5 – 5x + 10 – 5x + 10 0 Vậy f x x x x ( ) ( 1)( 2)(2 5).     Cách 3: Dùng lược đồ Horner: Hệ số của f x( ) 2 7 1 10 Hệ số của g x( ) a 1 2      7 ( 1).2 9 1 ( 1).( 9) 10     10 ( 1).10 0     r Vậy 2 g x x x ( ) 2 9 10    và 2 f x x x x ( ) ( 1)(2 9 10)     Ví dụ 2. Cho đa thức 10 9 2 10 9 2 1 0 f x a x a x a x a x a ( ) ...      . Chứng minh rằng: a) Đa thức f x( ) chia hết cho x – 1 nếu tổng các hệ số bằng 0. b) Đa thức f x( ) chia hết cho x + 1 nếu các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các chữ số của hạng tử bậc lẻ. Ví dụ 3. Không dùng chia đa thức, xét xem đa thức 3 h x x x ( ) 7 6    a) Có chia hết cho x + 2 hay không? b) Có chia hết cho x – 2 hay không? – – – – –
c) Có chia hết cho x – 4 hay không? Ví dụ 4. Tìm đa thức f x( ) biết rằng khi chia cho x + 2 thì dư – 4; chia cho x 3 thì dư 21; chia cho 2 x x  6 thì được thương là 2 x  4 và còn dư. Ví dụ 5. Cho đa thức 5 4 3 2 f x x x x x x ( ) 3 2 9 1945 2012       chia cho x – 3. a) Dùng lược đồ Horner để tính số dư và viết đa thức thương. b) Dùng Định lí Bézout để tính số dư. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng ba phương pháp: Tách và thêm bớt hạng tử. chia đa thức và dùng lược đồ Horner: a) 3 2 p x x x x ( ) 6 12 42     . b) 3 q x x x ( ) 7 6    . c) 4 3 2 f x x x x x ( ) 8 10 104 105      . d) 6 4 2 h x x x x ( ) 12 49 36     . 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng cách áp dụng định lý Bézout: a) 3 3 3 3 A x y z x y z       ( ) ; b) 5 5 5 B x y x y     ( ) . 3. Tìm dư trong phép chia: a) 21 2 x x : ( 1)  ; b) 63 2 x x : ( 1)  . 4. Tìm dư của phép chia 67 47 27 7 f x x x x x x ( ) 1       cho: a) x 1 ; b) 2 x 1 ; c) 2 x 1. 5. Tìm giá trị của a để: a) 2 f x x a ( ) 18   chia hết cho 3 5 x  ; b) 4 2 g x x ax ( ) 16    chia hết cho 2 x x   4 4 ; c) 2 h x x ax ( ) 3 32    chia x 5 có số dư là 3. 6. Tìm a và b để: a) 3 f x x ax b ( )    chia hết cho 2 x x   5 6 ; b) 4 3 2 g x x x x ax b ( ) 5      chia cho 2 x x   2 dư 2 1 x  ; c) 3 h x x ax b ( ) 3    chia x 1 dư 6; chia x 3 dư 70. 7. Cho 432 f x x x x x k ( ) 3 3      và 2 g x x x ( ) 2    . Tìm giá trị của k để f x( ) chia hết cho g x( ) ; a) Bằng phương pháp sử dụng định lý Bézout. b) Dùng lược đồ Horner. 8. Tìm đa thức f x( ) biết rằng khi chia cho x – 2 thì dư 4; chia cho x + 5 thì dư – 17; chia cho 2 x x   3 10 thì được thương là 2 x 1 và còn dư. 9. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho giá trị của 3 2 f n n n ( ) 2 17    chia hết cho giá trị của g n n ( ) 3   (bằng ba cách: Chia đa thức; dùng định lí Bézout và lược đồ Horner). 10. Không làm phép chia, tìm các giá trị nguyên của k để: a) Giá trị của biểu thức 2 f x k k ( ) 2 1    chia hết cho giá trị của biểu thức k  2 ; b) Giá trị của biểu thức 2 g k k k ( ) 5 19    chia hết cho giá trị của biểu thức 2 3 k  .
11. Cho 2 2012 2 2012 f x x x x x ( ) ( 1) ( 1) 2        . Chứng minh 2 f x x ( ) ( 1)  . 12. Chứng minh rằng: Nếu đa thức bị chia là: 1 1 1 0 ( ) ... n n P n a x a x a x a x n n        , đa thức chia là: x a  , đa thức thương là: 1 1 1 1 0 ( ) ... n n Q x b x b x b x a n n n         , dư là: r thì giữa các hệ số 1 1 0 , ,..., , n n a a a a  với 1 2 1 0 , ,..., , ; n n b b b b   hằng số a và số dư r có mối quan hệ sau: 1 2 1 1 3 2 2 1 2 2 0 1 1 ........................ n n n n n n n n b a b a ab b a ab b a ab b a ab                 0 1 r a ab   (r là số dư). Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n nào để giá trị của biểu thức 3 2 f n n n n ( ) 3 2 3     chia hết cho giá trị biểu thức 2 n n  .