Tiêu đề HSG T7 - CĐ15 - CỰC TRỊ HÌNH HỌC (10 TRANG).pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 15: CƯC̣ TRI ̣HÌNH HOC̣ 1 a H C B D A a H C B D A B H C A B M A N C CHỦ ĐỀ 2. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên Định lý 1. Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất AH a ⊥   AH AC , AH AD  ( , ) C D a  2. Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu Định lý 2. Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: • Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn. AH a HD HC ⊥ ,    AD AC • Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn. AH a ⊥ , AD AC    HD HC • Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. AB AC    HB HC II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Bài 1: Cho ABC vuông tại A . Trên các cạnh AB AC , lần lượt lấy các điểm M N, . a. Chứng minh MN BN BC   . b. Có thể nói BN có hình chiếu xuống AC là AN còn CM có hình chiếu xuống AC là AC nên CM BN  được không? Lờ i giả i: a) Hình chiếu AM AB  nên đường xiên MN BN  . Hình chiếu AN AC  nên đường xiên BN BC  . Bởi vậy MN BN BC   . b) Không được vì M và B khác nhau.
CHUYÊN ĐỀ 15: CƯC̣ TRI ̣HÌNH HOC̣ 2 D B H C A B H D C A Bài 2. Cho ABC có AB AC  . Kẻ AH BC ⊥ tại H , điểm D thuộc đoạn AH . So sánh: a. DB và DC ; b. DB và AB . Lờ i giả i: a) Đường xiên AB AC  nên hình chiếu HB HC  . Hình chiếu HB HC  nên đường xiên DB DC  . b) BA và BD có hình chiếu lần lượt là AH và DH Mà AH BH    BA BD Bài 3. Cho ABC cân tại A . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC , điểm D thuộc cạnh BC ( ) D H Chứng minh AH AD AB   . Lờ i giả i: Ta có AH AD  (quan hệ đường vuông góc, đường xiên). Nếu D HC    HD HC    AD AC AB. Nếu D HB    HD HB    AD AB AC Bởi vậy AH AD AB   . Bài 4: Cho ABC có  B và  C là các góc nhọn. Gọi D là điểm bất kì thuộc cạnh BC , gọi H và K là chân các đường vuông góc kẻ từ B và C đến đường thẳng AD . So sánh: a. BH và BD . Có khi nào BH bằng BD không? b. HC và BK khi 2 BC BD  Lờ i giả i: a) Ta có BH BD  (đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên). BH BD    H D   AD BC b) Xét MPQ có 2 2 2 BK BH HK   BK2 Xét CHK có 222 CH CK HK   .Mà 2 BC BD  nên BH CK  . Vậy BK HC  . Bài 5: Cho ABC cân tại A . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D . a. So sánh AD và AB . b. Vẽ BE AC  và DF AB  . So sánh BE và DF Lờ i giả i: a. Kẻ AH BC  tại H .Ta có AB AC    HB HC. Lại có D thuộc tia đối của tia CB Vậy HD HC HB     AD AB .
CHUYÊN ĐỀ 15: CƯC̣ TRI ̣HÌNH HOC̣ 3 H A C B E K D I F E H D C A B b. Diện tích 1 . 2 ABC S AH BC   ; Diện tích 1 . 2 ABD S AH BD   Mà BC BD  . Suy ra ABC ABD S S    Lại có: 1 . 2 ABC S AC BE   ; 1 . 2 ABD S AB DF   Suy ra 1 1 . . 2 2 AC BE AB DF  . Mà AB AC  nên BE DF  . Bài 6: Cho ABC vuông taị AK, là trung điểm của BC , qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AK , đường thẳng này cắt các đường thẳng AB AC , lần lươṭ ở D và E , Gọi I là trung điểm của DE a. CMR : AI BC  b. Có thể nói DE BC  đươc̣ không? Lờ i giả i: a, ADE vuông tại A có đường trung tuyến AI => AIE cân tại I và ACK cân tại K    A E 1  ,C CAK  1   mà   0 E CAK   90   0 1 1    A C 90   AH CK b, Để so sánh DE với BC ta so sánh IE với CK và AI với AK AKI vuông   AI AK   DE BC khi K trùng với I hay ABC vuông cân tại A Bài 7: Cho ABC cân taị A , góc A tù, trên caṇ h BC lấy điểm D , trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD CE  , trên tia đối của tia CA lấy điểm I sao cho CI CA  a. CMR:    ABD ICE và AB AC AD AE    b. Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc vớ i BC cắt AB , AI lần lươṭ taị M và N , CMR: BM CN  c. CMR: Chu vi ABC nhỏ hơn chu vi AMN Lờ i giả i: a. CM:    ABD ICE c g c . .  .Ta có : AB AC AI   , Vì    ABD ICE   AD EI Áp dụng BĐT trong AEI : AE EI AI   hay AB AC AD AE    b. CM:    BDM CEN g c g  . .    BM CN c. Vì BM CN      AB AC AM AN (1) có BD CE  (gt), BC DE  Gọi O là giao của MN và BC O B C A E N I D M
CHUYÊN ĐỀ 15: CƯC̣ TRI ̣HÌNH HOC̣ 4  OM OD ON OE          MO ON OD OE   MN DE   MN BC (2) từ (1) và (2) ta có: Chu vi ABC nhỏ hơn chu vi AMN Bài 8: Cho ABC vuông taị C , kẻ CH vuông góc vó i AB , trên các caṇ h AB , AC lấy tương ứng hai điểm M N, sao cho BM BC  và CN CH  . CMR: a. MN AC ⊥ b. AC BC AB CH    Lờ i giả i: a. Có BM BC  (gt)  CBM cân tại B  MCB CMB        0 0 90 90 MCB ACM CMB MCH            ACM MCH       MNC MHC c g c MNC MCH  . .    mà MCH MNC     90 90 0 0  hay MN AC , vuông góc với nhau b. Ta có: BM BC  , CN CH  AMN có  0 N  90 suy ra AM là cạnh lớn nhất      MB MA CH BC NC     BA CH BC CA. Bài 9: Cho ABC vuông tại A , góc  0 B  54 , trên cạnh AC lấy điểm D sao cho  0 ABD  36 , BE là tia phân giác ABD  , trên đoạn BD lấy điểm F sao cho BF BA  a. Tính EFD  b. BEC cân c. FD AE  d. BD AC  Lờ i giả i: a. Vì   0 ABD 36    0 DBC 18 , mà là phân giác ABD      ABE EBD DBC  180       ABE FBE (c.g.c) =>     0 F A 90    0 EFD 90 b. ABC vuông tại A có   0 B 54      0 0 0 C 90 54 36 Mà EBC ABC ABE           0 0 0 EBC 54 18 36 EBC có   0 EBC ECB   36 EBC cân tại E c. EFD vuông tại F có    EDF B C 1   (góc ngoài của DBC      0 0 0 EDF 18 36 54  0 0 0 FED  90 54 36 .Vậy EFD có   E D    FD EF AE 1 d. Ta có: AC AE EC FE BE     Và BD BF FD   , lại có EF FD  chứng minh ở 1   BE BF vì BEF vuông tại F suy ra BE là cạnh huyền. Nên BE BF  , vậy AC BD  . A C B H M N F E C B A D