Tiêu đề Chuyên đề 1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO.doc ✅

Tương tự ta có 2 AH AE AC . Do đó 224 . . AHAHAH S ABACABAC . Mặt khác ..ABACBCAH (hệ thức 3) nên 43 . AHAH S BCAHBC . Suy ra 3 AM S BC (vì AHAM ) Do đó 32 22 aa S a (dấu "=" xảy ra ABC vuông cân tại A). Vậy 2 max 2 a S khi ABC vuông cân tại A. Nhận xét: Để tìm sự liên hệ giữa chiều cao AH (chưa biết) với độ dài cạnh huyền BC (đã biết) ta vẽ thêm đường trung tuyến AM. Do AHAM ; 1 2AMBC nên AH đã liên hệ được với BC qua vai trò "bắc cầu" của AM. Ví dụ 4. Cho ba điểm A, B, C, trong đó A, B cố định, ABBCa . Vẽ tam giác ADE vuông tại A sao cho AC là đường cao. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng 22 11 ADAE . Giải * Tìm cách giải: Hệ thức 22 11 ADAE gợi ý ta nhớ đến hệ thức (4). Vì vậy ta dùng hệ thức này để giải bài toán. * Trình bày lời giải: Ta có AC là đường cao của tam giác ADE vuông tại A nên 222 111 ADAEAC (hệ thức 4) Tổng 22 11 ADAE có giá trị nhỏ nhất 2 1 AC có giá trị nhỏ nhất AC có giá trị lớn nhất.  Xét ba điểm ,,ABC ta có 2ACABBCa (dấu “=” xảy ra khi B là trung điểm của AC). Vậy 2222 1111 min 42ADAEaa     khi B là trung điểm AC. Ví dụ 5. Cho hình thang ABCD, 90AD , hai đường chéo vuông góc với nhau. Cho biết
,ABaCDb . a) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích hình thang ABCD. b) Chứng minh rằng các độ dài AC, BD và ABCD có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Giải * Tìm cách giải: Để tìm diện tích hình thang ABCD ta cần biết thêm chiều cao AD. Có thể tính được AD nhờ phương pháp đồng dạng. * Trình bày lời giải: a) ADB và DCA có: 90AD ; ADBDCA (cùng phụ với góc BDC). Do đó ADBDCADD: (g.g). Suy ra 2 ..ABAD ADABCDab DADC Do đó ADab . Diện tích hình thang ABCD là:  22 ABCDADabab S  Vì 2 ab ab  (bất đẳng thức Cô-si) nên .Sababab (dấu “=” xảy ra khi a = b hay khi ABCD là hình vuông). Vậy minSab khi ABCD là hình vuông. b) Xét ADB vuông tại A ta có: 2222BDABADaabaab . Xét DCA vuông tại D ta có: 2222ACADCDabbbab . Xét tổng 222ACBDbabaabab mà 22ABCDab . Vậy 222ACBDABCD . Do đó theo định lí Py-ta-go đảo thì AC, BD và ABCD có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. C. Bài tập vận dụng Vận dụng hệ thức (1) 1.1. Cho tam giác ABC vuông tại A, ,ABcACb . Vẽ đường cao AH. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu