Tiêu đề Chương 7_Bài 22_ _Lời giải_Toán 11_KNTT.pdf ✅

CHƯƠNG VII: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN BÀI 22: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1.GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG HĐ1. Trong không gian, cho hai đường thẳng chéo nhau m và n . Từ hai điểm phân biệt O,O tuỳ ý lần lượt kẻ các cặp đường thẳng ab, ,và a b  , tương ứng song song với m n H , .7.2 ( ). a) Mỗi cặp đường thẳng aa,  và bb,  có cùng thuộc một mặt phẳng hay không? b) Lấy các điểm AB, (khác O ) tương ứng thuộc ab, . Đường thẳng qua A song song với OO cắt a  tại A , đường thẳng qua B song song với OO cắt b tại B . Giải thích vì sao OA O A , OBB O , ABB A       là các hình bình hành. c) So sánh góc giữa hai đường thẳng ab, và góc giữa hai đường thẳng a b  , . (Gợi ý: Áp dụng định lí côsin cho các tam giác OAB, O A B    ). Lời giải a) Mỗi cặp đường thẳng a,a và b,b cùng thuộc một mặt phẳng. Vì a a / / , b//b   khi đó (a, b a, b ) = ( ). b) Ta có: / / / / / / OA O A OB O B AB A B            Do đó OA O OBB O ABB A A , ,       là hình bình hành. c) Áp dụng định lí côsin cho các tam giác OAB và O A B    , ta có: cos , ; cos , ( ) ( ) OA O A a b a b OB O B  =    =   Vì O A OA   = và O B OB   = do a ,b  là các đường song song với ab, nên ta có: cos , cos , (a b a b ) = (  ) Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian, kí hiệu (m n, ) , là góc giữa hai đường thẳng ab, cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với m và n . Chú ý • Để xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b , ta có thể lấy một điểm O thuộc đường thẳng a và qua đó kẻ đường thẳng b song song với b . Khi đó (a b a b , , ) = ( ) . • Với hai đường thẳng ab, bất kì: 0 , 90     (a b) . ? Nếu a song song hoặc trùng với a  và b song song hoặc trùng với b thì (a b, ) và (a b  , ) có mối quan hệ gì? 
Ví dụ 1. Cho hình hộp ABC A B C D. D     có các mặt là các hình vuông. Tính các góc (AA ,CD , , D , ,     ) ( A C B AC DC ) ( ) . Lời giải. (H.7.3) Vì CD AB / / nên ( AA CD AA AB ', ', 90 ) ( )  = = . Tứ giác ACC A  có các cặp cạnh đối bằng nhau nên nó là một hình bình hành. Do đó, A C AC   / / . Vậy ( A C BD AC BD ' ', ( , ) ) 90 = = . Tương tự, DC AB   / / . Vậy ( AC DC AC AB , ' , ' ) = ( ) . Tam giác AB C có ba cạnh bằng nhau (vì là các đường chéo của các hình vuông có độ dài cạnh bằng nhau) nên nó là một tam giác đều. Từ đó, ( AC DC AC AB , , ' 60 ') ( )  = = . Vận dụng. Kim tự tháp Cheops là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập, được xây dựng vào thế kỉ thứ 26 trước Công nguyên và là một trong bảy kì quan của thế giới cổ đại. Kim tự tháp có dạng hình chóp với đáy là hình vuông có cạnh dài khoảng 230m , các cạnh bên bằng nhau và dài khoảng 219m (kích thước hiện nay). (Theo britannica.com). Tính (gần đúng) góc tạo bởi cạnh bên SC và cạnh đáy AB của kim tự tháp H.7.4 Lời giải Xét tam giác vuông ASC . Với AC là độ dài đường chéo của đáy kim tự tháp, ta có: AC AB m =  2 325.27 Theo pytago ta có: 2 2 2 2 2 AS 325.27 219 124108,44 = −  −  AC SC m AS 124108.44 3522.24 =  m Góc tạo bởi cạnh bên SC và cạnh đáy AB bằng cách sử dụng định lý sin trong tam giác vuông ASC : ( ) ( ) 219 sin 0.673 4 AS A 6 arcsin 0.6736 2,79 325.27 C CS SC AC = =     DC AB '/ / '
Vậy góc tạo bởi cạnh bên SC và cạnh đáy AB của kim tự tháp Cheops là khoảng . 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC HĐ2. Đối với hai cánh cửa trong Hình 7.5, tính góc giữa hai đường mép cửa BC và MN . Lời giải Vì BC vuông góc với MN nên góc giữa hai đường mép này bằng góc giữa đường BC và mặt phẳng (MNPQ) cos( ) BC BM  = Hai đường thẳng ab, được gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu a b ⊥ , nếu góc giữa chúng bằng 90 . ? Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b thì a có vuông góc với các đường thả̉ng song song với b hay không? Ví dụ 2. Cho hình hộp ABC A B C H D. D .7.6    ( ) a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng AC và BD  . b) Chứng minh rằng AC và BD  vuông góc với nhau khi và chỉ khi ABCD là một hình thoi. Lời giải a) Hai đường thẳng AC và BD  lần lượt thuộc hai mặt phẳng song song ( ABCD) và nên chúng không có điểm chung, tức là chúng không thể trùng nhau hoặc cắt nhau. Tứ giác BDD  B có hai cạnh đối BB và DD song song và bằng nhau nên nó là một hình bình hành. Do đó BD  song song với BD . Mặt khác, BD không song song với AC nên BD  không song song với AC . Từ những điều trên suy ra AC và BD  chéo nhau. 42.79( A B C D ' ' ' ')