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MÓDULO ARITMÉTICA
A.P.U. “El Triunfo” Módulo Teórico INFORMES E INSCRIPCIONES 923606810 2 Elemento Conjunto TEORÍA DE CONJUNTOS I. NOCIÓN DE CONJUNTO: Es una colección o agrupación de objetos abstractos y concretos que pueden o no tener características en común. Notación: Un conjunto se denota por letras mayúsculas (A,B,C, ....) y se representa mediante llaves que contienen sus elementos separados por comas (o puntos y coma en el caso de los números) Ejemplos: A= B= C= II. DETERMINACIÓN DE CONJUNTO: a) Por Extensión o forma tabular: Se da cuando los elementos están indicados en forma explícita, uno a uno, separados por comas y encerrados entre llaves. Ejemplos: 1. (M) Determinar el conjunto de los dígitos primos M= 2. (N) Determinar el conjunto de múltiplos de 3 entre 9 y 27 N= b) Por comprensión o forma constructiva: Es cuando se enuncian las propiedades necesarias y suficientes que los elementos poseen en común de tal manera que el conjunto quede perfectamente determinado. Ejemplos: 1. R = Se lee: R es un conjunto cuyos elementos son de la forma “2n” tal que “n” pertenece a los naturales y es mayor de 5 pero menor igual a 10.Para hallar R por extensión. Se tabula: n 6 7 8 9 10 2n 12 14 16 18 20 Entonces R= 2. Q = Para hallar Q por extensión: Entonces: Q= III. CARDINAL DE UN CONJUNTO: Definición: Es el número natural, que indica la cantidad de elementos diferentes de un conjunto. El cardinal de un conjunto A. Se denota así: n(A) Ejemplos: IV. RELACIÓN DE PERTENENCIA: “ ” Sirve para indicar que hay un elemento que pertenece a un conjunto. Observación: Para que un elemento sea considerada como tal debe encontrarse exactamente igual y separado por comas. Ejemplos: 1.Sea Se lee: 2 pertenece a M Se lee: -1 no pertenece a M 2.Dado el conjunto: Responder con V o F: V. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS: 5.1. Relación de Inclusión: “ ” Se utiliza para indicar que un conjunto está contenido en otro. Un conjunto A está contenido en otro conjunto B. De todos los elementos de A pertenece a B. Se denota simbólicamente: Ejemplo: Responder con V o F Observación: 5.2. Subconjunto Propio – Impropio A es subconjunto propio de B si A es subconjunto Impropio de B si A = B Ejemplo: Subconjuntos Propios: Subconjunto Impropio: Subconjunto Conjunto Representación Gráfica: (Diagrama de Venn – Euler) .2 3. .5 7. A
A.P.U. “El Triunfo” Módulo Teórico INFORMES E INSCRIPCIONES 923606810 3 5.3. Conjuntos comparables: Se dice que dos conjuntos son comparables. Si uno de ellos está contenido en el otro. Si A B: A y B son comparables. Ej.:      2 A x N x x x       2 3 5 6 0 B 5.4. Conjunto iguales:Dos conjuntos son iguales cuando ambos poseen los mismos elementos. Simbólicamente se define: Ejemplos: 1. Dados los conjuntos: Se observa que A B ^ B A, luego A=B 2. Si M=N. Hallar a + b Sol.: 4 16; 5 35 a   b a b   2 7 Entonces: a + b = 9 3. Dados los conjuntos iguales: , calcule a + b : Si 5.5. Conjuntos Equivalentes: A <> B Son aquellos que tienen el mismo cardinal (A<> B). A es un equivalente a B. entonces n(A)=n(B). Ej.: 5.6. Conjuntos Diferentes:Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no tiene el otro. Ej.: M N 3; 1;2 5; 5.7. Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos en común. Si A es disjunto con B ⟹ A∩B = Ej.: VI. CONJUNTOS ESPECIALES: 6.1. Conjunto Vacio: Es aquel que no tiene elementos. Se denota por: Convencionalmente se considera Ej.: 6.2. Conjunto Unitario o Singletón:Es aquel que tiene un solo elemento diferente. Ejemplos: 1. 2. Si el conjunto es unitario. Hallar a + b: Sol.: 6.3. Conjunto Universal: “U”.-Es aquel que tiene todos los elementos de la misma naturaleza. Gráficamente se representa como un rectángulo. 6.4. Conjunto de Conjuntos: Es aquel que tiene por lo menos a un conjunto como elemento. Ej.: 6.5. Conjunto Potencia : Dada un conjunto A, el conjunto potencia de A ”. Es aquel que tiene como elemento a todos los subconjuntos de A. Ejemplo: Sea A  5;7;9 Propiedad: Si , entonces el número de subconjuntos de “r” elementos cada uno será igual a: A B Pares Impares Propiedad Si A .5 .2 .3 .4 U
A.P.U. “El Triunfo” Módulo Teórico INFORMES E INSCRIPCIONES 923606810 4 A B C =B Ejm:                              3 2 , , , , , , , , , , , , , , 3 : , , , , , 3! 3.2.1 3 2! 1! 2.1 1 A a b c P A a b c a b a c b c a b c existen subconjuntos de dos elementos a b a c b c C       VII. CLASES DE CONJUNTO: 7.1. Conjunto Finito:Es cuando el proceso de contar sus elementos admite un fin en el tiempo. Ej.: 7.2. Conjunto Infinito :Es cuando el proceso de contar los elementos no tiene fin en el tiempo. Ej.: 1. Todos los conjuntos de números: N, Z, Q, I, R VIII. DIAGRAMAS CONJUNTISTAS: 8.1. Diagrama de Venn – Euler: Utiliza figuras geométricas cerradas para representar a los conjuntos. 8.2. Diagrama de Carroll (Lewis Carroll): Se utiliza para conjuntos disjuntos. Ej.: Hombres y mujeres casados y solteras. 8.3. Diagrama de Líneas:Para conjuntos comparables) IX. OPERACIONES CON CONJUNTOS: 9.1. Unión o reunión:Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A con todos los elementos que pertenecen a B. 9.2. Intersección: Es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez. 9.3. Diferencia (A-B): Es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A pero no pertenecen al conjunto B. 9.4. Diferencia Simétrica: Es el conjunto formado por los elementos exclusivos de A o de B.         A B B A A B A B A B               9.5. Complemento:Sea A U, el complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos que le faltan a A para ser igual a U. C R Im Q I Z F Z- N A B HC MC HS MS Hombres Mujeres Casados Solteros A B A B B A A B A B B A B B A A B A B A B A B B A A ’ ’ A U