Tiêu đề KNTTVCS-Đại số 12-Chương 1-Bài 2-GTLN, GTNN của hàm số-Chủ đề 2-GTLN, GTNN trong bài toán thực tiễn-LỜI GIẢI.pdf ✅

Đại số 12 - Chương 1 - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đò thị hàm số Trang 1 CHỦ ĐỀ 2 ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀO GIẢI TOÁN THỰC TẾ DẠNG 1 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN HÌNH HỌC PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16 cm, hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng: A. 64 cm2 . B. 4 cm2 . C. 16 cm2 . D. 8 cm2 . Lời giải Chọn C. Cách 1: Gọi cạnh của hình chữ nhật: a, b; 0 < a, b < 8. Ta có: 2( ) 16 8 8 a b a b b a         Diện tích: 2 S a a a a a ( ) (8 ) 8      ; S a a ( ) 2 8    ; S a a ( ) 0 4    Bảng biến thiên: Cách 2 Áp dụng Côsi: 2 2 16 2 a b a b ab ab ab              Dấu “=” xảy ra    a b 4 Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng 16 khi cạnh bằng 4 Câu 2. Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích 48 cm2 , hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng: A. 16 3 cm B. 4 3 cm C. 24 cm D. 8 3 cm Lời giải Chọn A. Cách 1 Gọi cạnh của hình chữ nhật: a, b; 0 < a, b  48 Ta có: 48 ab b 48 a    . Chu vi: 48 P a a ( ) 2 a         2 48 P a( ) 2 1 a          ; P a a ( ) 0 4 3    a 0 4 8 S a    0  S a  0 16 0
Đại số 12 - Chương 1 - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đò thị hàm số Trang 2 Bảng biến thiên: Cách 2  Áp dụng bất đẳng thức Côsi: a b ab a b       2 2 48 8 3  chu vi nhỏ nhất: 2( ) 16 3 a b    Hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng 16 3 khi cạnh bằng 4 3 . Câu 3. Tam giác vuông có diện tích lớn nhất là bao nhiêu nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0)? A. 2 6 3 a . B. 2 9 a . C. 2 2 9 a . D. 2 3 3 a . Lời giải Chọn A. Cạnh góc vuông , 0 2 a x x   ; cạnh huyền: a x  Cạnh góc vuông còn lại là: 2 2 ( ) a x x   Diện tích tam giác 1 2 ( ) 2 2 S x x a ax   . 2 ( 3 ) ( ) ; ( ) 0 2 2 3 a a x a S x S x x a ax         Bảng biến thiên: Tam giác có diện tích lớn nhất bằng 2 6 3 a khi cạnh góc vuông 3 a , cạnh huyền 2 . 3 a Câu 4. Cho ABC đều cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên BC, hai đỉnh P, Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất ? A. 2 3 a BM  . B. 3 4 a BM  . C. 3 a BM  . D. 4 a BM  . Lời giải Chọn D. x 0 3 a 2 a S x    0  S x  2 6 3 a a 0 4 3 48 P a    0 + P a  16 3
Đại số 12 - Chương 1 - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đò thị hàm số Trang 3 A B M H N C Q P Gọi H là trung điểm của BC 2 a    BH CH . Đặt BM = x 0 2 a x         Ta có: 0 MN MH a x QM BM x      2 2 , tan 60 3 Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: 2 S x a x x a x x ( ) ( 2 ) 3 3 2 3     ( ) 3( 4 ), ( ) 0 4 a S x a x S x x        Bảng biến thiên: Vị trí điểm M: 4 a BM  Câu 5. Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính 10cm , biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn. A. 2 80cm B. 2 100cm C. 2 160cm D. 2 200cm Lời giải Chọn B. Gọi x cm( ) là độ dài cạnh hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính đường tròn 0 10 x . x 0 4 a 2 a S x    0  S x  3 2 8 a
Đại số 12 - Chương 1 - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đò thị hàm số Trang 4 Khi đó độ dài cạnh hình chữ nhật nằm dọc trên đường tròn là: 2 2 2 10 . x cm Diện tích hình chữ nhật: 2 2 S x x 2 10 Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 2.10 4 10 x S x x x 10 2 thoûa 2 0 10 2 khoâng thoûa 2 x S x 10 2 8 40 2 0 2 S x S . Suy ra 10 2 2 x là điểm cực đại của hàm S x . Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là: 2 2 2 10 S 10 2. 10 100 2 cm Câu 6. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6 cm. Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. y cm x cm 3cm A 2 cm D C E B F H G Tìm tổng x + y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất. A. 7 B. 5 C. 7 2 2 D. 4 2 . Lời giải Chọn C. Ta có EFGH S nhỏ nhất AEH CGF DGH     S S S S lớn nhất. Tính được 2 2 3 (6 )(6 y) xy 4x 3y 36 S x y x          (1) Mặt khác AEH đồng dạng CGF nên 6 AE AH xy CG CF    (2) Từ (1) và (2) suy ra 18 2 42 (4 x ) S x    . Ta có 2S lớn nhất khi và chỉ khi 18 4x x  nhỏ nhất. Biểu thức 18 4x x  nhỏ nhất 18 3 2 4 2 2 2 x x y x       .