Tiêu đề 2 Chuyên đề 2. Diện Tích Đa Giác.docx ✅

Chuyên đề 2 DIỆN TÍCH ĐA GIÁC TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ. Các bài toán trong chuyên đề này bao gồm nhiều dạng: - Dạng 1. Tính toán và chứng minh liên quan đến diện tích các hình: Chữ nhật, vuông thang, thoi, tam giác, tứ giác. - Dạng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của diện tích các hình. - Dạng 3. Sử dụng diện tích để chứng minh các quan hệ về độ dài. Bài toán thực tế CHIA BÁNH Tám bạn học sinh cần chia một chiếc bánh ga – tô thành tám phần, chiếc bánh có mặt trên và mặt dưới là hai hình lục giác đều giống nhau. Bạn Thành tìm ra cách chia bằng bốn nhát cắt thẳng đi qua tâm của chiếc bánh. Bạn Mai lại tìm ra cách chia chiếc bánh thành tá hình thang cân. Các bạn đó đã chia chiếc bánh như thế nào? Giải Bạn Thành cắt chiếc bánh như hình 12a bằng bốn nhát cắt là AD, HF, IM, KN. Giải thích: Lục giác đều có 6 cạnh, chia thành 8 phần nên mỗi phần chứa 3 4 cạnh (trên hình 12a có 3 4AHAB , 3 4KDCD , BIIC ). Do AHHBBI nên  OAHOHBISS (Lưu ý rằng các góc AOH và HOI không bằng nhau, dễ chứng minh AOHHOI ) Hình 12 b) a) G' B' E' C' D' GE CB O M I F GE CB OADDA H A' Bạn Mai cắt chiếc bánh như hình 12b, trong đó O là tâm của lục giác đều, các điểm ',',',',','ABCDEG theo thứ tự là trung điểm của OA, OB, OC, OD, OE, OG.
I. DIỆN TÍCH HÌNH VUÔNG, HÌNH CHỮ NHẬT, HÌNH THANG, HÌNH BÌNH HÀNH, HÌNH THOI Cần nắm vững công thức tính diện tích các hình nói trên. Có thể tính diện tích hình thoi theo hai cách (Tính theo đáy và chiều cao tương ứng hoặc tính theo các đường chéo). Ví dụ 11. Trong các tam giác ABC vuông tại A có 2BCa , đường cao AH, tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật ADHE ,DACEAB . Giải (h.13) Đặt ,ADxDHy . Gọi M là trung điểm của BC, ta có: 2222 222   ADHE xyAHa Sxy . 2 max 2a S H trùng M ABC vuông cân tại A. Ví dụ 12. Tính diện tích hình thang vuông ABCD có dáy nhỏ AB bằng đường cao, đáy lớn 23CDcm , cạnh bên lớn 17BCcm . Giải Kẻ BHCD . Đặt ,BHABHDaHCb . Ta có 22223,17289abab nên 2222 2()()23289240ababab , 222 ()228924049ababab7ab . Xét hai trường hợp: Trường hợp 7ab (h.14). Từ 23ab và 7ab suy ra 15,8.ab 2 (1523).15:2285() ABCDScm . Trường hợp 7ba (h.15) Từ 23ab và 7ba suy ra 8,15.ab 2 (823).8:2124() ABCDScm . Ví dụ 13. Hình thoi ABCD có tổng hai đường chéo bằng m. a) Biết cạnh của hình thoi bằng a, tính diện tích hình thoi. b) Tính diện tích lớn nhất của hình thoi. Giải (h.16) Gọi O là giao điểm của AC và BD. y x Hình 13 E D HMCB A b 17 a a a Hình 14 AB HDC Hình 15 a a a 17 b AB DHC Hình 16 y x C ODB A
Đặt ,OAxOBy . Ta có: 2  ACBD OAOB nên 2m xy . a) 2 222211 .2.22()(). 224 ABCD m SACBDxyxyxyxya b) 2 22 ()2 2; 228     ABCD m xym Sxy 2 max 84mm Sxy II. DIỆN TÍCH TAM GIÁC, TỨ GIÁC, ĐA GIÁC Khi tính diện tích của một tam giác, ngoài các dùng công thức, ta còn dùng cách so sánh diện tích của hai tam giác. Cần chú ý đến một số cách so sánh diện tích của hai tam giác: - Hai tam giác có một đường cao bằng nhau: Nếu ABC và '''ABC có các đường cao AH và ''AH bằng nhau thì ''''' ABC ABC SBC SBC . - Hai tam giác có một cạnh bằng nhau: Nếu ABC và '''ABC có ''BCBC , AH và ''AH là các đường cao thì ''''' ABC ABC SAH SAH . - Hai tam giác có một góc bằng nhau (xem Ví dụ 14). Ví dụ 14. (Bổ đề về hai tam giác có một góc bằng nhau) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC và tam giác '''ABC có  'AA thì '''''.'' .ABC ABC SABAC SABAC . Giải (h.17) Trên tia AB lấy D sao cho ''ADAB , trên tia AC lấy E sao cho ''AEAC . '''(..)ABCADEcgc ''' ABCADESS (1) Ta lại có: ADE ABE SAD SAB và ABE ABC SAE SAC Nên ''.'' .. .ADE ABC SADAEABAC SABACABAC (2) Từ (1) và (2) suy ra '''''.'' .ABC ABC SABAC SABAC . Ví dụ 15. Tính các góc của một tam giác vuông, biết rằng diện tích tam giác đó bằng 1 8 diện tích hình vuông có cạnh là cạnh huyền. Giải (h.18) Hình 17 BC AA' C' B' Hình 18 HM BC DE A
Xét ABC vuông tại A có BC và hình vuông BCDE. Kẻ đường cao AH, trung tuyến AM. Ta có 211 . 28BCAHBC  11 42 3015  oO AHBCAHAM AMHACB Tam giác vuông ABC có các góc nhọn 15o và 75o . Ví dụ 16. Trên hình 19, tam giác ABC được chia thành sáu tam giác nhỏ bởi ba đoạn thẳng đồng quy tại O, trong đó có ba tam giác có diện tích bằng nhau và bằng S, ba tam giác còn lại có diện tích bằng a, b, c. Chứng minh rằng abcS . Giải (h.19) Giả sử abc (1) Ta có DOBDOC AOBAOC SSDO SAOS    bSaS bS aScScS Do ac nên bS . (2)      FOAFOB COACOB SSFOaS SCOScSbS cS aS bS Do cb nên aS . (3) Từ (1), (2), (3) suy ra SabS nên abS Chứng minh tương tự acS nên abcS . Ví dụ 17. Cho tam giác ABC có ,,BCaACbABc , I là giao điểm các đường phân giác, G là trọng tâm thỏa mãn 90oAIG . a) Gọi r là khoảng cách từ I đến AB< AC. Gọi m, n lần lượt là khoảng cách từ G đến AB, AC. Chứng minh rằng 2mnr . b) Chứng minh rằng 6   bc abc bc Giải a) (h.20) Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của IG với AB, AC. Ta có:  AGMAGNAMNAIMAINSSSSS1111 .... 2222AMmANnAMrANr Do AMAN nên 2mnr . Hình 19 S S S a c b FE DBC A