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http://saborpcmath.com/ SMPC SMAI ENSAM ENSA FST Résumé des cours, corrigé des exercices et des examens, pour les étudiants niveau universitaire ملخص شامل للدروس + تمارين شاملة + تصحيح المتحانات PHYSIQUE : Mécanique & Thermodynamique & Electricité & Optique & Electrocinetique & Electronique MATH : Analyse & Algèbre & Probabilité & Statistique CHIMIE : ORGANIQUE &ATOMISTIQUE&CRISTALLOCHIMIE THERMODYNAMIQUE ET CINETIQUE Veuillez nous contacter : 06-38-14-88-74 par whatsapp :06-26-45-09-23 FPN-NADOR SMP3 TDs + COURS ANALYSE NUMERIQUE
Université Mohammed Premier Faculté Pluridisciplinaire de Nador Département de Mathématiques Filières SMP Semestre S3 Année universitaire: 2020-2021 TD d’Analyse numérique et Algorithmique Série 1: Approximation des solutions de l’équation f(x) = 0 Exercice 1. Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x 3 + 4x 2 − 10. 1) Montrer que la fonction f admet un zéro c dans [1,2]. 2) En utilisant la méthode de la dichotomie, trouver une valeur approchée de c avec une précision de 10−2 . On pourra utiliser le tableau ci-dessous : k ak ck bk signe de f(ak) signe de f(ck) signe de f(bk) 0 1 2 1 2 · · · Exercice 2. Soient f et g deux fonctions définies sur R par : f(x) = x − 1 4 cos(x) et g(x) = 1 4 cos(x). 1) Montrer que la recherche des solutions de f(x) = 0 est équivalente à la recherche des points fixes de g. 2) Montrer que la suite récurrente définie par : u0 ∈ R, un+1 = g(un) ∀n ≥ 0 est convergente. Exercice 3. On considère l’équation f(x) = 0, avec : f(x) = cos(x) − xex , x ∈ [0, π 2 ]. 1) Etudier les variations de f et montrer que cette équation admet une unique solution s dans [0, π 2 ]. 2) Utiliser la méthode de dichotomie pour trouver une valeur approchée de s avec la précision 10−2 . 3) Vérifier que la méthode de Newton est applicable pour trouver une valeur approchée de s. En étudiant le signe de f 00, indiquer un bon choix de x0. Calculer les quatre premiers itérés de cette méthode. 4) On met l’équation f(x) = 0 sous la forme : x = cos(x) e x . a) Montrer que les hypthèses d’application de la méthode du point fixe ne sont pas vérifiées sur l’intervalle [0, π 2 ]. b) Montrer qu’elles le sont sur l’intervalle [0.45, 0.6]. c) Combien de termes devrait-on calculer par la méthode du point fixe pour trouver une valeur approchée de s à 10−2 près ? Exercice 4. En considérant la fonction définie par f(x) = x 2−2, utiliser la méthode de Newton pour construire une suite convergeant vers √ 2. Calculer les quatre premiers termes de cette suite. Série 1: Approximation des solutions de l’équation f(x) = 0 1/1
Université Mohammed Premier Faculté Pluridisciplinaire de Nador Département de Mathématiques Filières SMP Semestre S3 Année universitaire: 2020-2021 TD d’Analyse Numérique & Algorithmique Série 2: Interpolation polynomiale. Exercice 1. Construire le polynôme P qui interpole les points : (0, 2),(1, 1),(2, 2) et (3, 3) en utilisant la mé- thode de Lagrange et la méthode d’Aitken. Exercice 2. L’espérance de vie dans un pays a évoluée dans le temps selon le tableau suivant : Année 1975 1980 1985 1990 Espérance 72,8 74,2 75,2 76,4 Utiliser l’interpolation de LAGRANGE pour estimer l’espérance de vie en 1977, 1983 et 1988. Exercice 3. 1) Construire le polynôme de LAGRANGE P qui interpole les points (−1, 2), (0, 1), (1, 2) et (2, 3). 2) Soit Q le polynôme de LAGRANGE qui interpole les points (−1, 2), (0, 1), (1, 2). Montrer qu’il existe un réel λ tel que : Q(x) − P(x) = λ(x + 1)x(x − 1). Exercice 4. 1) Déterminer le polynôme d’interpolation de la Lagrange P2(x) de la fonction f(x) = 1 1+x pour les points : 0; 3 4 et 1. 2) Comparer à l’aide d’une calculatrice, f( 1 2 ) et P2( 1 2 ). 3) Rappeler la formule de l’erreur, et donner une majoration de |e(x)| = |f(x) − P2(x)|. 4) Evaluer l’erreur commise en considérant les points : x0 = 0; x1 = 1 4 ; x2 = 1 2 ; x3 = 3 4 et x4 = 1. Exercice 5. Soit f une fonction qui vérifie le tableau suivant : x0 = 0 x1 = π 6 x2 = π 4 f0 = 0 f1 = 0,5 f2 = √ 2 2 1) Donner les trois polynômes de Lagrange L0; L1; L2. 2) Donner le polynôme d’interpolation P2 en expression symbolique polynomiale et calculer une approximation de f( π 5 ). 3) En supposant que f(x) = sin(x), donner l’erreur commise en confondant f( π 5 ) avec P2( π 5 ) et justifier la précision obtenue. 4) Reprendre ces questions avec la méthode d’Aitken. Série 2: Interpolation polynomiale. 1/1
Université Mohammed Premier Faculté Pluridisciplinaire de Nador Département de Mathématiques Filières SMP Semestre S3 Année universitaire: 2020-2021 TD d’Analyse Numérique & Algorithmique Série 3: Intégration Numérique et systèmes linéaires. Exercice 1. Soient : f : x 7→ e −x 2 et I = Z 1 0 e −x 2 dx. 1) Calculer les valeurs approchées IT et IS de I par la méthode des trapèzes et la méthode de Simpson lorsqu’on utilise la subdivision suivante : (0; 1 4 ; 1 2 ; 3 4 ; 1). 2) Donner une estimation de l’erreur pour chaque méthode. Exercice 2. On considère l’intégrale I = Z 2 1 1 x dx. 1) Calculer la valeur exacte de I. 2) Évaluer numériquement cette intégrale par la méthode des trapèzes avec m = 3 sous- intervalles. 3) Quel nombre de sous-intervalles m faut-il choisir pour avoir une erreur inférieure à 10−4 ? Exercice 3. Considérons le système linéaire Ax = b avec A =   α 0 γ 0 α β 0 δ α   , avec α, β, γ et δ des paramètres réels. Donner des conditions suffisantes sur les coefficients pour avoir 1) convergence de la méthode de JACOBI. 2) convergence de la méthode de GAUSS-SEIDEL . Exercice 4. Soit le système linéaire :    6x1 + x2 + x3 = 12 2x1 + 4x2 = 0 x1 + 2x2 + 6x3 = 6 1) Résoudre les systèmes linéaires par la méthode d’élimination de GAUSS. 2) Approcher la solution avec la méthode de JACOBI avec 3 itérations à partir de x (0) = (2, 2, 2). 3) Approcher la solution avec la méthode de GAUSS-SEIDEL avec 3 itérations à partir de x (0) = (2, 2, 2). Série 3: Intégration Numérique et systèmes linéaires. 1/1